Integral por substituição trigonométrica

por Augusto123 Seg 03 Nov 2014, 17:26

Resolver a integral definida de 1 até 2 de: raiz(4-x²) / (x²)

Muito obrigado !!

por MCarsten Seg 03 Nov 2014, 21:02

Observe que podemos reescrever a integral da seguinte maneira:

$\int_{1}^{2} \frac{\sqrt{4-x^2}}{x^2}\;dx = \int_{1}^{2} \frac{1}{x^2}\sqrt{4 - x^2}\;dx$

Como se trata de um produto entre duas funções, é provável que se resolva com integração por partes. Adotando u como raiz(4 - x^2) e dv como 1 / x^2:

$u = \sqrt{4 - x^2} \to du = \frac{-x}{\sqrt{4 - x^2}}\; dx$

$dv = \frac{1}{x^2} \to v = -\frac{1}{x} + C$

Substituindo na fórmula da integração por partes:

$\int_{1}^{2} \frac{\sqrt{4 - x^2}}{x^2}\;dx = -\frac{\sqrt{4 - x^2}}{x} - \int \left ( -\frac{1}{x} \right ) \left ( -\frac{x}{\sqrt{4 - x^2}} \right )\;dx$

$= -\frac{\sqrt{4 - x^2}}{x} - \int \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}}\;dx$

Resolvendo a integral à direita:

$\int \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}}\;dx$

Olhando na tabela, você pode perceber que esta integral é semelhante à derivada de arcsen(u). Para provar, é necessário usar uma identidade trigonométrica em que:

$\sqrt{a - bx^2} \to x = \sqrt{\frac{a}{b}}sen(u)$

$x = 2sen(u) \;\;\;\to\;\;\; dx = 2cos(u)\; du$

$\int \frac{1}{\sqrt{4 - (2sen(u))^2}} \; 2cos(u) \;du$

$2 \int \frac{cos(u)}{\sqrt{4 - 4sen^2(u)}} \;du$

Com um pouco de álgebra no denominador, você chegará a:

$2 \int \frac{cos(u)}{2\sqrt{1 - sen^2(u)}} \;du$

Pela idenidade trigonométrica $sen^2(x) + cos^2(x) = 1$ :

$2\int \frac{1}{2}\frac{cos(u)}{cos(u)} \;du$

Resultando em:

$= u$

Como:
$sen(u) = \frac{x}{2} \;\;\to\;\; u = arcsen\left ( \frac{x}{2} \right )$

Substituindo na integração por partes:

$= -\frac{\sqrt{4 - x^2}}{x} - arcsen\left ( \frac{x}{2} \right )$

Calcule as fronteiras para o intervalo [1, 2]. Chegará em:

$\boxed{\boxed{\sqrt{3} - \frac{\pi}{3}}}$

Integral por substituição trigonométrica

Integral por substituição trigonométrica

Re: Integral por substituição trigonométrica

Um fórum livre e democrático.