Integral por substituição trigonométrica

por acorreia Ter 06 Dez 2016, 00:15

Calcule a Integral:

$\int \frac{5}{x^{2}+3}$

Gabarito:
$\frac{5}{\sqrt{3}} arctg\left (\frac{x}{\sqrt{3}} \right )$

por **Forken** Ter 06 Dez 2016, 01:00

Lembrete

\int \frac{dx}{x^2+a^2}\;(com\;a\neq0,\;onde\;a\;\acute{e}\;constante\;e\;x\;\acute{e}\;fun\text{\c{c}\~ao})=\frac{1}{a}arc\;tg\frac{x}{a}++k\;(onde\;k\;\acute{e}\;constante)\;ou\;\int \frac{dx}{x^2+1}=arc\;tg\;u+k

Manipulando algebricamente

\int \frac{5dx}{x^2+3}=5\int \frac{dx}{x^2+3}=5\int\frac{\frac{dx}{3}}{\frac{x^2+3}{3}}=\frac{5}{3}\int \frac{dx}{\frac{x^2}{3}+1}=\frac{5}{3}\int \frac{dx}{\left ( \frac{x}{\sqrt{3}} \right )^2+1}=

Fazemos a substituição de u=\frac{x}{\sqrt{3}}. Temos, então, du=\frac{1}{\sqrt{3}}dx ou dx=\sqrt{3}du

=\frac{5}{3}\int \frac{\sqrt{3}\;du}{u^{2}+1}=\frac{5\sqrt{3}}{\left ( \sqrt{3} \right )^2}\int \frac{du}{u^{2}+1}=\frac{5}{\sqrt{3}}\int \frac{du}{u^2+1}=\frac{5}{\sqrt{3}}\;arc\;tg\frac{x}{\sqrt{3}}+k

Bons estudos!

por acorreia Qua 07 Dez 2016, 22:10

então, como disse no enunciado, gostaria pela substituição trigonométrica =/

por **Forken** Qui 08 Dez 2016, 04:26

Peço desculpa acabei me empolgando Shocked

. Por enquanto não sei =/

por **mauk03** Qui 08 Dez 2016, 14:04

$\int \frac{5}{x^2+3}dx=\frac{5}{3}\int \frac{1}{\left ( \frac{x}{\sqrt{3}} \right )^2+1}dx$

Fazendo $x=\sqrt{3}\tan \theta \Rightarrow dx=\sqrt{3}\sec ^2\theta d\theta$ , tem-se:
$\int \frac{1}{\left ( \frac{x}{\sqrt{3}} \right )^2+1}dx=\int \frac{\sqrt{3}\sec ^2\theta }{\tan^2\theta +1}d\theta =\sqrt{3}\int \frac{\sec ^2\theta }{\sec ^2\theta }d\theta =\sqrt{3}\int 1d\theta =\sqrt{3}\theta$

Mas $\frac{x}{\sqrt{3}}=\tan \theta \Rightarrow \theta=\arctan \left ( \frac{x}{\sqrt{3}} \right )$ . Logo:
$\int \frac{5}{x^2+3}dx=\frac{5\sqrt{3}}{3}\arctan \left ( \frac{x}{\sqrt{3}} \right )=\frac{5}{\sqrt{3}}\arctan \left ( \frac{x}{\sqrt{3}} \right )$