Qual a razão de crescimento das parcelas?

Um financiamento de $ 5.000,00 será reembolsado em 10 parcelas mensais vencidas que crescem geometricamente a uma determinada taxa. Se o valor da primeira parcela é de $ 571,50 e a taxa de juros efetiva é de 5% a.m., calcular a razão de crescimento das parcelas.

R: 3%

Boa tarde!

A resolução se dá pela fórmula e depois pela aplicação de algum método iterativo para obtermos o valor de r:
\\PV=\dfrac{PMT}{\left(1+i\right)^n}\cdot\left[\dfrac{\left(1+r\right)^{n}-\left(1+i\right)^{n}}{r-i}\right]\\\\5\,000=\dfrac{571,50}{\left(1+5\%\right)^{10}}\cdot\left[\dfrac{\left(1+r\right)^{10}-\left(1+5\%\right)^{10}}{r-5\%}\right]\\\\\dfrac{1,05^{10}\cdot 5\,000}{571,50}=\dfrac{(1+r)^{10}-1,05^{10}}{r-0,05}\\\\\boxed{r\approx 3,004\%}

Espero ter ajudado!

baltuilhe escreveu:Boa tarde!

A resolução se dá pela fórmula e depois pela aplicação de algum método iterativo para obtermos o valor de r:
\\PV=\dfrac{PMT}{\left(1+i\right)^n}\cdot\left[\dfrac{\left(1+r\right)^{n}-\left(1+i\right)^{n}}{r-i}\right]\\\\5\,000=\dfrac{571,50}{\left(1+5\%\right)^{10}}\cdot\left[\dfrac{\left(1+r\right)^{10}-\left(1+5\%\right)^{10}}{r-5\%}\right]\\\\\dfrac{1,05\cdot 5\,000}{571,50}=\dfrac{(1+r)^{10}-1,05^{10}}{r-0,05}\\\\\boxed{r\approx 3,004\%}

Espero ter ajudado!

Retiro minha retificação anterior e re-retifico: o gabarito é mesmo 3%. Novamente peço desculpas pelo equívoco. Descobri que misturei dois problemas.

Luiz, boa tarde!

Refaça as contas... a resposta é realmente 3%!

Abraços!

baltuilhe escreveu:Luiz, boa tarde!

Refaça as contas... a resposta é realmente 3%!

Abraços!

Bom dia Baltuilhe:

Você tem razão. Como eu disse acima, a resposta é mesmo 3%. Depois destes equívocos vou tentar aqui me redimir.

Mas antes tenho que te informar que, na sua solução, você usou a fórmula correta, mas quando substituiu valores, onde tem (1+i)ⁿ você colocou apenas 1,05 ao invés de 1,05¹⁰.

A fórmula para o valor presente de série postecipada em progressão geométrica crescente é:

PV = PMT \left[\frac {1 - \left( \frac{1+r}{1+i} \right)^n} {i-r}\right] = \frac{PMT}{(1+i)^n} \cdot \left[ \frac{(1+r)^n - (1+i)^n}{r-i}  \right]

onde:

PV = $ 5.000,00
PMT = $ 571,50
n = 10 meses
i = 5% a.m.
r = ?

Substituindo valores, vem:

5000 = \frac{571,50}{(1+0,05)^{10}} \cdot \left[ \frac{(1+r)^{10}-(1+0,05)^{10}}{r-0,05}  \right]

\frac{5000 \times 1,05^{10}}{571,50} \cdot (r-0,05) = (1+r)^{10}-1,05^{10}

\boxed{ \frac{5000 \times 1,05^{10}}{571,50} \cdot (r-0,05) - (1+r)^{10} + 1,05^{10} = 0 }

1- Resolvendo pelo método de Newton:

r_0 =  0,001000000000000000
r_1 =  0,027701066806912420
r_2 =  0,029826406389474870
r_3 =  0,030033580958843230
r_4 =  0,030035533010959630

Portanto, r ≈ 3%

2- Resolvendo pelo Wolfram-Alpha:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+1.05%5E(10)*5000%2F571.5*(x-0.05)+-+(1%2Bx)%5E(10)+%2B+1.05%5E(10)%3D0



Como se vê, a equação é do 10º grau e portanto tem 10 raízes: 8 complexas e duas reais positivas. Descartando as complexas tem-se duas soluções: 3% e 5%.

No entanto, na fórmula para série gradiente crescente em PG, como visto acima, aparece um denominador na forma (r-i). Isto significa que "r" não pode ser igual a "i" pois caso isto aconteça gerará uma indeterminação (divisão por zero).

Portanto, como i = 5%, tem-se que r ≈ 3%.

Como se vê, a solução do método de Newton bate com a solução do Wolfram.

Sds.