Pogressão Geométrica

A sequência (a;b;c) é um PG  de razão diferende de 0, tal que  a<0. Determine os valores de q tais que c > 4b -3a . R:  1 < q < 3. eu achei    q < -3 ou q > 3 ou  -1< q <1

Manda o que você fez

superaks escreveu:Manda o que você fez

como b² = ac   

c +3a > 4b
(c + 3a)² > 16.ac
c² + 9a² 6ac - 16ac > 0  (como c/a = q²)
c²/a² + 9a²/a² -10ac/a² > 0
q^4 + 9 -10q² >0
tem raiz 9 e 1   para ser maior que 0, q² > 9 ou q² < 1 

q² > 9, tem raizes 3 e -3   logo para ser maior que 0,   q > 3 ou q < -3
q² < 1, raiz 1 e -1 para ser < 0 ,   -1 < q < 1. 

Alguém poderia me dizer se está certo??

Não é obrigatório que r > 0

(q²)² - 10.q² + 9 = 0 

 ∆ = (-10)² - 4.1.9 ---> ∆ = 64 ---> √∆ = 8

q² = (10 ± 8 )/2 ---> q² = 9 e q² = 1 ---> são 4 raízes:

q = - 3, q = - 1, q = 1, q = 9

Antes a desigualdade que você colocou era:

c² > 4b - 3a

Vou apontar alguns cuidados que você deixou de tomar.

Você pegou:

c + 3a > 4b

E depois levou ambos os lados da desigualdade ao quadrado.

Você só pode fazer isso se você tiver garantido que:

4b > 0

Pois se não, pode ocorrer a seguinte situação:

4 > - 4

Eleve ambos os lados da desigualdade ao quadrado

16 > 16 <--- absurdo


Faça:

a = a'/q
b = a'
c = a'q

c > 4b - 3a

a'q > 4a' - 3a'/q

Multiplique ambos os lados da desigualdade por q/a', mas sabemos que ela é menor que 0, logo, precisamos inverter a desigualdade.

q² < 4q - 3

q² - 4q + 3 < 0

É um parábola com concavidade voltada para cima. Então precisamos pegar todos os valores entre as 2 raízes.

raízes:

(4 ± √(16 - 12))/2 = 2 ± 1

3 e 1

Logo:

1 < q < 3

Eu tinha feito mentalmente e imaginei que cairia em uma equação de grau 3, por isso fiz aquelas substituições.

Você pode fazer:

a = a
b = aq
c = aq²

aq² > 4aq - 3a

A resolução apartir daqui é a mesma.

superaks escreveu:Antes a desigualdade que você colocou era:

c² > 4b - 3a

Vou apontar alguns cuidados que você deixou de tomar.

Você pegou:

c + 3a > 4b

E depois levou ambos os lados da desigualdade ao quadrado.

Você só pode fazer isso se você tiver garantido que:

4b > 0

Pois se não, pode ocorrer a seguinte situação:

4 > - 4

Eleve ambos os lados da desigualdade ao quadrado

16 > 16 <--- absurdo


Faça:

a = a'/q
b = a'
c = a'q

c > 4b - 3a

a'q > 4a' - 3a'/q

Multiplique ambos os lados da desigualdade por q/a', mas sabemos que ela é menor que 0, logo, precisamos inverter a desigualdade.

q² < 4q - 3

q² - 4q + 3 < 0

É um parábola com concavidade voltada para cima. Então precisamos pegar todos os valores entre as 2 raízes.

raízes:

(4 ± √(16 - 12))/2 = 2 ± 1

3 e 1

Logo:

1 < q < 3

Porque invertemos a desigualdade quando multiplicamos por a'/q

O enunciado nos diz que a < 0.

a = a'/q

1/a = q/a' < 0

Quando multiplicamos ambos os lados de uma desigualdade por alguém que é menor que 0, precisamos inverte-la.

Por exemplo, pegue a seguinte desigualdade.


2 > 1

Multiplique ambos os lados por - 1 sem inverter a desigualdade

- 2 > - 1. ← falso.

- 2 não é maior que - 1.

Então sempre que você multiplicar ambos os lados de uma desigualdade por alguém negativo, inverta a desigualdade

superaks escreveu:O enunciado nos diz que a < 0.

a = a'/q

1/a = q/a' < 0

Quando multiplicamos ambos os lados de uma desigualdade por alguém que é menor que 0, precisamos inverte-la.

Por exemplo, pegue a seguinte desigualdade.


2 > 1

Multiplique ambos os lados por - 1 sem inverter a desigualdade

- 2 > - 1. ← falso.

- 2 não é maior que - 1.

Então sempre que você multiplicar ambos os lados de uma desigualdade por alguém negativo, inverta a desigualdade

entendi valeu