(TITU ANDREESCU) Polinômio

Para θ=∏/7, prove que cos θ é uma raiz da equação 8x³+4x²-4x-1=0.

Perceba que 4θ + 3θ = ∏, portanto θ é solução da equação cos(4x) = - cos(3x):

cos(4x) + cos(3x) = 0
cos(7x/2).cos(x/2) = 0
cos(7x/2) = 0 ou cos(x/2) = 0

Vamos calcular os ângulos que satisfazem essa relação:

1) cos(7x/2) = 0
7x/2 = ∏/2 + k∏
x = ∏/7 + 2k∏/7

x = ∏/7, 3∏/7, 5∏/7, ∏, 9∏/7, 11∏/7, 13∏/7; porém cos(∏/7)=cos(13∏/7), cos(3∏/7)=cos(11∏/7),cos(5∏/7)=cos(9∏/7), dessa forma temos um total de 4 soluções distintas, sendo elas ∏/7, 3∏/7, 5∏/7, ∏.

2) cos(x/2)= 0
x/2 = ∏/2 + k∏
x = ∏ + 2k∏
x = ∏ é a única solução

Agora vamos encontrar a equação que possui essas raízes:

cos(4x) + cos(3x) = 0
8cos^4(x) - 8cos²(x) + 1 + 4cos³(x) - 3cos(x) = 0
8cos^4(x) + 4cos³(x) - 8cos²(x) - 3cos(x) + 1 = 0

Fazendo cos(x) = k:

8k^4 + 4k³ - 8k² - 3k + 1 = 0

- 1 é raíz:

(k + 1)(8k³ - 4k² - 4k + 1) = 0

Com isso temos que cos(θ) é raiz do polinômio 8k³ - 4k² - 4k + 1 = 0

Muito obrigada pela resolução, fantecele, porém eu fiquei com uma dúvida. A prova seria válida para o polinômio f(x)=8x³+4x²-4x-1? Pois o polinômio que você chegou, g(k)=8k³-4k²-4k+1, é diferente daquele que consta no enunciado pelo sinal em destaque.

Então, você poderia usar a calculadora e ver que cos(θ) não é raiz do polinômio "8x³+4x²-4x-1", deve haver algum erro no enunciado, o mais próximo que eu consegui chegar foi nesse polinômio que eu coloquei ai em cima.

Provável que esteja incorreto mesmo. Muito obrigada, fantecele.

fantecele, procurando pela internet eu achei o enunciado original da questão e sim, há uma falha no enunciado da questão. A lista da qual eu peguei a questão apresenta o enunciado de forma incorreta. O correto seria f(x)=8x³-4x²-4x-1. Obrigada.

A sim, tudo bem, de nada.