Polinômio
2 participantes
PiR2 :: Matemática :: Álgebra
Página 1 de 1
Polinômio
A partir de uma sequência de números reais A = {a1, a2, a3,...}, defina ∆A como a sequência de números reais {a2 - a1, a3 - a2, a4 - a3,...}, em que o n-ésimo termo é an+1 - an. Se todos os termos da sequência ∆(∆A) são iguais a 2, e que a19 = a92 = 0, determine a1.
Resp.:819
Resp.:819
RenataRodrigues- Recebeu o sabre de luz
- Mensagens : 186
Data de inscrição : 21/09/2016
Idade : 29
Localização : Araraquara
Re: Polinômio
Perceba que a sequência ∆(∆A) é formada por termos iguais a 2, portanto os termos da sequência ∆A serão da forma x, x + 2, x + 4, ... e a sequência a(n) será da forma a1, a1 + x, a1 + x + x + 2, a1 + x + x + 2 + x + 4, ...
Daqui fica fácil perceber que o termo na será da forma:
a(n) = a1 + x + x + 2 + x + 4 + ... + x + 2(n - 2)
a(n)=a1+(x+x+2.(n-2)).(n-1)/2
a(n)=a1+x.(n-1)+(n-2).(n-1)
a(n)=n²+ n.(x-3) + 3 - x + a1
Perceba que o termo a(n) se trata de uma equação do segundo grau em n com coeficiente de segundo grau igual a 1. O enunciado nos da que a19 = a92 = 0, com isso tiramos que as raízes dessa equação de segundo grau são iguais a 19 e 92. Portanto:
a(n) = (n - 19)(n - 92)
Daqui tiramos que a1 = 1638.
Uma outra forma de se fazer seria da seguinte forma:
Considere a sequência bn como sendo:
bn = a(n+1) - a(n)
Do enunciado temos que:
b2 - b1 = 2
b3 - b2 = 2
b4 - b3 = 2
...
bn - b(n-1) = 2
Somando tudo:
bn - b1 = 2.(n - 1)
bn = 2.(n - 1) + b1
a(n+1) - a(n) = 2.(n - 1) + b1
Da relação acima temos que:
a2 - a1 = 2.(1 - 1) + b1
a3 - a2 = 2.(2 - 1) + b1
a4 - a3 = 2.(3 - 1) + b1
...
a(n+1) - a(n) = 2.(n - 1) + b1
Somando tudo:
a(n+1) - a1 = n.(n-1) + n.b1
a(n+1) - a1 = n.(n-1) + n.(a2 - a1)
Do enunciado temos que a19 = a92 = 0, utilizando esses valores na relação acima podemos encontrar que a1 = 1638.
O meu deu isso ai, infelizmente não bateu com seu gabarito, mas de qualquer forma está ai.
Daqui fica fácil perceber que o termo na será da forma:
a(n) = a1 + x + x + 2 + x + 4 + ... + x + 2(n - 2)
a(n)=a1+(x+x+2.(n-2)).(n-1)/2
a(n)=a1+x.(n-1)+(n-2).(n-1)
a(n)=n²+ n.(x-3) + 3 - x + a1
Perceba que o termo a(n) se trata de uma equação do segundo grau em n com coeficiente de segundo grau igual a 1. O enunciado nos da que a19 = a92 = 0, com isso tiramos que as raízes dessa equação de segundo grau são iguais a 19 e 92. Portanto:
a(n) = (n - 19)(n - 92)
Daqui tiramos que a1 = 1638.
Uma outra forma de se fazer seria da seguinte forma:
Considere a sequência bn como sendo:
bn = a(n+1) - a(n)
Do enunciado temos que:
b2 - b1 = 2
b3 - b2 = 2
b4 - b3 = 2
...
bn - b(n-1) = 2
Somando tudo:
bn - b1 = 2.(n - 1)
bn = 2.(n - 1) + b1
a(n+1) - a(n) = 2.(n - 1) + b1
Da relação acima temos que:
a2 - a1 = 2.(1 - 1) + b1
a3 - a2 = 2.(2 - 1) + b1
a4 - a3 = 2.(3 - 1) + b1
...
a(n+1) - a(n) = 2.(n - 1) + b1
Somando tudo:
a(n+1) - a1 = n.(n-1) + n.b1
a(n+1) - a1 = n.(n-1) + n.(a2 - a1)
Do enunciado temos que a19 = a92 = 0, utilizando esses valores na relação acima podemos encontrar que a1 = 1638.
O meu deu isso ai, infelizmente não bateu com seu gabarito, mas de qualquer forma está ai.
fantecele- Fera
- Mensagens : 1217
Data de inscrição : 14/09/2014
Idade : 27
Localização : Nova Venécia-ES, Brasil
Re: Polinômio
Muito obrigada
RenataRodrigues- Recebeu o sabre de luz
- Mensagens : 186
Data de inscrição : 21/09/2016
Idade : 29
Localização : Araraquara
PiR2 :: Matemática :: Álgebra
Página 1 de 1
Permissões neste sub-fórum
Não podes responder a tópicos
|
|