Funções trigonométricas

por jose16henrique campos de Ter 26 Dez 2017, 09:20

A questão pede pra estudar a função

F(x)= cos⁴ x+sen⁴ x

Com p(f)=π/2 e Im(f)=[1/2,1]

Não consegui resolver então pesquisando encontrei em alguns sites que:

cos⁴ x+sen⁴ x = 3/4 + cos(4x)/4

Ou

cos⁴ x+sen⁴ x = [3-cos(4x)]/4

Só que não consigo encontrar esse resultado como faço alguém poderia me explicar por favor!

por **Elcioschin** Ter 26 Dez 2017, 09:44

f(x)= cos⁴x + sen⁴x

f(x) = (cos²x + sen²x)² - 2.sen²x.cos²x

f(x) = 1² - (1/2).(4.sen²x.cos²x)

f(x) = 1 - (1/2).(2.senx.cosx)²

f(x) = 1 - (1/2).sen(2.x)

p(f) = pi/2 ---> Im(f) = [1/2, 1]

por jose16henrique campos de Ter 26 Dez 2017, 09:57

Elcioschin escreveu:f(x)= cos⁴x + sen⁴x

f(x) = (cos²x + sen²x)² - 2.sen²x.cos²x

f(x) = 1² - (1/2).(4.sen²x.cos²x)

f(x) = 1 - (1/2).(2.senx.cosx)²

f(x) = 1 - (1/2).sen(2.x)

p(f) = pi/2 ---> Im(f) = [1/2, 1]

Muito obrigado
Mas (2.senx.cosx)² = sen²(2x)?

por marcelojr Ter 26 Dez 2017, 09:59

Se tu fazer desse jeito vai cair naquela conta que tu citou.

por jose16henrique campos de Ter 26 Dez 2017, 10:08

marcelojr escreveu:
Se tu fazer desse jeito vai cair naquela conta que tu citou.

Teria como especificar melhor, minha não trabalha tão bem como a sua, você colocou direto

cos⁴ x+sen⁴ x = [cos(2x)+1]²/4 + [1-cos(2x)]²/4

teria como voce explicar isso melhor?

por marcelojr Ter 26 Dez 2017, 10:32

jose16henrique campos de escreveu:
marcelojr escreveu:
Se tu fazer desse jeito vai cair naquela conta que tu citou.

Teria como especificar melhor, minha não trabalha tão bem como a sua, você colocou direto

cos⁴ x+sen⁴ x = [cos(2x)+1]²/4 + [1-cos(2x)]²/4

teria como voce explicar isso melhor?

Então vc se lembra das equações de arco duplo?
Cos 2x = Cos^2 (x) - sen^2 (x) ----> pesquisa ai

Como sen^2(x) + cos^2(x) = 1 ---> sen^2 (x) = 1 - cos^(x)
Subistituindo fica:
Cos (2x) = cos^2 (x) -(1 -cos^2 (x)), que dar: 2cos^2 (x) -1

Logo: cos^2 x = (Cos (2x) +1)/2 ---> cos^4 (x) = (Cos (2x) +1)^2/2^2.

Mesmo raciocínio para sen^4