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Perceba que até o ultimo digito 9, cada algarismo é "contado apenas uma vez", por que tipo o número 1 consiste de apenas um algarismo, o 2 também, e assim por diante, agora do número 10 pra frente, os algarismos são "contados duas vezes", por que tipo o número 10 consiste em 2 algarismos, o 11 também, e assim por diante.

Veja que:

122333444...999  →  45 dígitos
1010...10  →  2.10 dígitos 
1111...11  →  2.11 dígitos
1212...12  →  2.12 dígitos
...
kk...k        →  2.k dígitos

Com isso fica fácil ver que até escrevermos o k, k vezes, iremos ter um total de 2.X + 45 (aparentemente não chega nos 3 dígitos, porque seria muito número, caso chegue nos 3 dígitos devemos reformular a soma), esse S representa a soma dos números de 2 dígitos, e multiplica por 2 pois eles possuem 2 dígitos.

O calculo de X é bem simples:
X = 10 + 11 + 12 + 13 + ... + k = (10 + k)(k - 9)/2

2X + 45 = 2(10 + k)(k - 9)/2 + 45 = k² + k - 45

Vamos encontrar o 4.501°:

4501 = k² + k - 45
k = 66.925...

Perceba que k > 66, então k = 67, agora devemos encontrar se é o 6 ou 7:

Aplicando a fórmula ali de cima:
2X + 45 = (67)² + 67 - 45 = 4511
Veja que os números 67 acabam na posição 4511, tenho o número 7 na posição 4511, "voltando" os números é fácil ver que o 7 ocupa a posição 4501.

Agora para encontrar o número 4052:

Utilizando a fórmula 2X + 45 para o 63 é fácil ver que os números 63 acabam na posição 3987, com isso é fácil ver que o algarismo 6 irá ocupar uma posição par e o algarismo 4 irá ocupar uma posição ímpar, com isso o número de posição 4052 é o número 6.

Dessa forma a soma será igual a 6 + 7 = 13


Acho que é isso, espero que não tenha ficado confusa a resolução.

"(aparentemente não chega nos 3 dígitos, porque seria muito número, caso chegue nos 3 dígitos devemos reformular a soma)"

Como você  chegou a conclusão de que a sequência não passa dos números três dígitos? 






"Utilizando a fórmula 2X + 45 para o 63"



Por que você escolheu o número 63 ? 

Foi mais intuição mesmo, porque seria muito número para se somar até chegar nos 3 dígitos.

Eu escolhi o 63 pois eu estava querendo ter uma margem, para que número seria na posição 4052, você poderia fazer igual para o número 4501 fazendo, x^2 + x - 45 = 4052, mas como o 4052 e o 4501 são números próximos era fácil saber nessa margem qual seria o número "mínimo " e qual seria o "máximo " a se escolher. Foi mais um "chute certeiro" hehe.

Muito obrigado.