Lógica (Iniciação Científica)

Uma professora de matemática pensou em um inteiro positivo de dois algarismos. Ela deseja que seus dois inteligentes alunos Daniela e Adriano determinem o valor exato do número pensado.
Para tal, informa reservadamente a Daniela a quantidade de divisores positivos do número e confidencia a Adriano a soma dos algarismos do número.
Uma breve conversa entre Daniela e Adriano é transcrita abaixo:
– Adriano: Eu não posso determinar o número.
– Daniela: Nem eu, mas posso dizer se ele é par ou ímpar.
– Adriano: Agora eu sei qual é o número.
– Daniela: Você sabe? Então eu também sei.
Suponha que os estudantes são honestos e existe lógica perfeita em tudo o que falaram. Determine o número pensado pela professora, justificando sua resposta.

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ps: - eu não tenho a resposta =/

desafio do Programa de Iniciação Científica Júnior - PIC

att,
vascaíno

R: 25

Se for isso, avise para eu dar a explicação.

eu não tenho a resposta
achei esta questão no link: http://www.obmep.org.br/export/sites/default/arquivos/apostilas_pic2008/manual_do_aluno_pic2009.pdf

olá,


fala ae mcgiorda como vc chegou na resposta? to curioso para saber.

Bem... A professora falou a quantidade de divisores do número para Daniela.

Na discussão, Daniela afirma que NÃO sabe que número é mas SABE se ele é par ou ímpar.
Disso tiramos que o número é quadrado perfeito.

Qualquer número que não seja quadrado perfeito, tem a quantidade de divisores PAR.
Em números de 2 algarismos, não há APENAS dois números NÃO quadrados perfeitos que tenham a mesma quantidade de divisores. Com isso, sabemos que seria IMPOSSIVEL daniela saber se o número é par ou ímpar.

Sabendo que ele é quadrado perfeito, temos que pegar uma quantidade de divisores que apenas 2 números (pois ela não sabe determinar qual é o número exato) tenham e que ambos sejam par ou ímpar, pois Daniela sabe determinar se ele é par ou ímpar.

Tiramos dois números disso: 25 e 49 (ambos com 3 divisores e somente estes tem 3 divisores, na quantidade de 2 algarismos).

Prova (quadrados perfeitos de 10 à 99):
16 : 5 divisores
25 : 3 divisores
36 : 9 divisores
49 : 3 divisores
64 : 7 divisores
81 : 5 divisores

OBS: 16 e 81 não poderiam ser, pois um é par e outro é impar, sendo impossível Daniela determinar.


Agora o Adriano.

Quando ela afirma que sabe se é par ou ímpar, ele faz a lógica de que este número é um quadrado perfeito (feita no começo).

Então ele deduz que o número é X (ou 25 ou 49).

Quando ela descobre que ele deduziu, ela pensa:

2 + 5 = 7
4 + 9 = 13

Números com soma 7:
16, 25, 34, 43, 52, 61, 70.

Números com soma 13:
49, 58, 67, 76, 85, 94.

Percebemos que se Adriano soubesse que a soma da 7, ele não deduziria, pois tem 2 quadrados perfeitos com essa soma.

Então Daniela percebe isso e tira que X é igual a 49

Eu confundi, é 49

I) Seja N = ab ----> 1 < a + b < 18

Soma 1 -----> N = 10
Soma 2 -----> N = 11, 20
Soma 3 -----> N = 12, 21, 30
Soma 4 -----> N = 13, 22, 31, 40
Soma 5 -----> N = 14, 23, 32, 41, 50
Soma 6 -----> N = 15, 24, 33, 42, 51, 60
Soma 7 -----> N = 16, 25, 34, 43, 52, 61, 70
Soma 8 -----> N = 17, 26, 35, 44, 53, 62, 71, 80
Soma 9 -----> N = 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90
Soma 10 ----> N = 19, 28, 37, 46, 55, 64, 73, 82, 91
Soma 11 ----> N = 29, 38, 47, 56, 65, 74, 38, 29
Soma 12 ----> N = 39, 48, 57, 66, 75, 84, 93
Soma 13 ----> N = 49, 58, 67, 76, 85, 94
Soma 14 ----> N = 59, 68, 77, 86, 95
Soma 15 ----> N = 69, 78, 87, 96
Soma 16 ----> N = 79, 88, 97
Soma 17 ----> N = 89, 98
Soma 18 ----> N = 99

II) Quantidade n de divisores positivos

n = 2 ----> Todos os números primos (ímpares): N = 11, 13, 17 .......... 93, 97
n = 3 ----> N = 25, 49
n = 4 ----> N = 10, 14, 15, 21, 22, 26, 27, 33, 34, 35, ................. 91, 94, 95
n = 5 ----> N = 16, 81
n = 6 ----> N = 12, 18, 20, 28, 30, 32, 44, 45, .................. 92, 98, 99
n = 7 ----> N = 64
n = 8 ----> N = 24, 40, 54, 56, 88
n = 9 ----> N = 36
n = 10 ---> N = 48, 80
n = 12 ---> N = 60, 72, 84, 96

Quando Adriano diz que não pode determinar o número, é sinal que o número NÃO é 10 nem 99
Se fosse um deles Adriano teria descoberto de imediato.
Daniela deduz isto também, com a resposta de Adriano.

Quando Daniela diz que também não sabe, é sinal de que o número NÃO é 36 nem 64, senão ela teria descoberto de imediato

Quando Daniela diz que sabe se o número é par ou ímpar, é porque ela sabia que:

n = 3 -----> Ambos os números são ímpares: N = 25 ou N = 49
ou
n = 10 ----> Ambos os números são pares: N = 48 ou 80

Se n = 5 ela teria duas posibilidades: N = 16 e N = 81 (porém um par e outro ímpar)

Adriano, também fica sabendo disso e para ele existem quatro opções:

2 + 5 = 7
4 + 9 = 13
4 + 8 = 12
8 + 0 = 8


Tentem agora chegar na conclusão final.

Elcioschin, em N=3, faltou o número 49... então teria 2 possibilidades pois 25 e 49 são ambos ímpares, dando a possibilidade de Daniela não saber qual é mas saber se é par ou ímpar.

mcgiorda

Você tem razão meu amigo: foi distração minha não colocar o 49 na lista.
Já editei minha mensagem e concordo plenamente com a sua solução.

Elcio