Relações de Girard

por Victor Luz Seg 27 Nov 2017, 20:29

Uma das raízes da equação 2x^3-9x^2+x+k=0 é igual à soma das outras duas.
a) Determine o valor de K.

Gabarito: k=12

Eu encontrei valor aproximado, alguém poderia me ajudar?

por **Elcioschin** Seg 27 Nov 2017, 21:12

Sejam r, s, t as raízes, tais que r + s = t

r + s + t = - b/a ---> t + t = - (-9)/2 ---> t = 9/4 ---> I

r.s + r.t + s.t = c/a ---> r.s + t.(r + s) = 1/2 ---> r.s + t² = 1/2 ---> r.s + 81/16 = 8/16 ---> r.s = - 73/16

r.s.t = - k/2 ---> (- 73/16).(9/2) = - k/2

Complete. Não vai dar o gabarito: ou existe erro no enunciado ou o gabarito está errado

por Victor Luz Seg 27 Nov 2017, 21:28

Elcioschin escreveu:Sejam r, s, t as raízes, tais que r + s = t

r + s + t = - b/a ---> t + t = - (-9)/2 ---> t = 9/2 ---> I

r.s + r.t + s.t = c/a ---> r.s + t.(r + s) = 1/2 ---> r.s + t² = 1/2 ---> r.s + 81/4 = 2/4 ---> r.s = - 79/4

r.s.t = - k/2 ---> (- 79/4).(9/2) = - k/2

Complete. Não vai dar o gabarito: ou existe erro no enunciado ou o gabarito está errado

Mestre, ali na primeira linha o senhor deixou passar a soma dos t, no caso seria t+t=9/2 ---> 2t=9/2 ---> t=9/4

Apesar dessa correção, havia feito o mesmo desenvolvimento, mas infelizmente o resultado saiu aproximado.

Eis minha solução:

r+s+t=9/2 (I)
rs+st+rt=1/2 (II)
r.s.t= -K/2 (III)

Pelo enunciado r+s=t (IV)

IV em I ---> t=9/4

Jogando t em I : r+s+9/4=9/2 ---> r+s=18/8

Fatorando a expressão (II): t(r+s)+rs= 1/2

9/4(18 / 8 )+rs = 1/2

rs= -73/16 (V)

(V) em (III) ---> 9/4.(-73/16)=-K/2

K≈ 20,5