Potência de um ponto em relação a uma circunc

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Potência de um ponto em relação a uma circunc

Mensagem por Paulo César Tavares Guede em Sab Out 07 2017, 22:47

Um triângulo ABC é isósceles de vértice A. Uma circunferência contém C, tangencia AB em A e intercepta o prolongamento de BC em D. Provar que vale a relação (AC)² = (BC) . (BD).   (A < 60º).

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Re: Potência de um ponto em relação a uma circunc

Mensagem por fantecele88 em Ter Out 10 2017, 11:04

É só aplicação direta da fórmula:
Nós teríamos (AB)² = (BC).(BD), sendo o triângulo isósceles (AB = AC) temos que (AC)² = (BC).(BD).

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Potência.

Mensagem por Paulo César Tavares Guede em Qua Out 11 2017, 16:18

Observe que o ponto C não está na circunferência, mas contido nela, por isso não se pode aplicar a fórmula como você a fez.
Daí a dificuldade que tive e não consegui demonstrar.

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Re: Potência de um ponto em relação a uma circunc

Mensagem por Elcioschin em Qua Out 11 2017, 17:44

O colega fantecele88 está corretíssimo:

Prolongue BA, no sentido de B para A, até um ponto qualquer E
O ponto C está na circunferência SIM, isto é, ele pertence à circunferência. Lembre-se que circunferência é uma linha e não deve ser confundida com um círculo que é uma área.

A circunferência tangencia a reta BAE no ponto A, logo BA é o comprimento a reta tangente à circunferência, tirada pelo ponto externo B.

Por sua vez, a reta BCD é uma reta secante à circunferência, nos pontos C e D, tirada pelo mesmo ponto externo B

Logo, PODE-SE perfeitamente aplicar a fórmula da potência:

AB² = BC.BD ---> como AC = AB ---> AC² = BC.BD
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Potência de um ponto em relação a uma circunc

Mensagem por Paulo César Tavares Guede em Qui Out 12 2017, 08:34

Agradeço aos pela colaboração, vi que tive um erro de interpretação. Esse exercício encontra-se no livro seguinte: NETTO, Scipione Di Pierro. Matemática na Escola Renovada, volume 4. Saraiva, São Paulo, 1971, p. 226.
Obrigado mais uma vez.

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