Questão sobre raízes

por AndersCarlos Qui 19 maio 2011, 19:17

Boa noite a todos (pelo menos no momento em que escrevo este post),

Estou precisando de ajuda com a seguinte questão:

Calcule o valor de x =

$\sqrt{2 + \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2 + ...}}}}$

Tentei resolver passando o radical como potência, mas como segue infinitamente ainda não tive sucesso em respondê-la.

Resposta: x = 2

Obrigado a todos pela ajuda.

por **Adam Zunoeta** Qui 19 maio 2011, 19:33

Oi AndersCarlos eu lembro desse tipo de questão o luck já fez uma bem parecida Very Happy

x= expressão do radical

Elevando ambos os membros ao quadrado vem,

x² = 2 + x

x² - x -2 =0

x=2

x=-2 não convém

por mcgiorda Qui 19 maio 2011, 19:40

É, na realidade tem-se que x é aproximadamente 2 (1,999999999...), porém, como não existe nenhum número real entre 1,9999... e 2, concluímos que estes são iguais.

por **JoaoGabriel** Qui 19 maio 2011, 19:41

É possível resolver por PG?

por AndersCarlos Qui 19 maio 2011, 19:43

Obrigado pelas respostas,

Realmente eu quase havia chegado na resposta, faltou um pouco de raciocínio para perceber que passando radical para o x como potência o termo com radicais seria o próprio x, obrigado mais uma vez.

por **luiseduardo** Qui 19 maio 2011, 21:07

JoaoGabriel escreveu:É possível resolver por PG?

Acho que é possível, mas não sei como fazer.

por **Elcioschin** Qui 19 maio 2011, 21:31

JG

É possível, sim, resolver por PG:

x = [2^(1/2)]*[2^(1/4)]*[2^(1/8 )]*.......

x = 2^(1/2 + 1/4 + 1/8 + ........)

x = 2^S

S é a soma dos termos de uma PG infinita decrescente, com a1 = 1/2 , q = 1/2

S = a1/(1 - q) ----> S = (1/2)/(1 - 1/2) ----> S = (1/2)/(1/2) ----> S = 1

x = 2¹ ----> x = 2