Provar Conjuntos

por Oziel Seg 25 Set 2017, 10:59

Sejam A, B, C conjuntos tais que B ⊂ A e A e C são disjuntos. Seja X tal que A - X = B, X - A = C. Prove que X = (A \ B) ∪ C.

Vou demonstrar da maneira que eu fiz, se eu errei em algum ponto, por favor corrijam-me.

Fiz o diagrama de maneira que B está contido em A e C está contido em X e a parte de A que não pertence a B pertence a X e não pertence a C. Agora falta provar algebricamente e logicamente.

K ∈ A e K ∉ X ⇔ K ∈ B. (Se K ∈ A e K ∉ X, então K ∈ B)
K ∈ X e K ∉ A ⇔ K ∈ C. (Se K ∈ X e K∉ A, então K ∈ C)

Isso implica que B ⊂ A e C ⊂ X.

Portanto temos 2 possibilidades para x, ou x = A ou X ≠ A. Supondo por absurdo que X = A, temos K ∈ A e K ∈ X, então (A ∩ X) = A = X, o que é absurdo, visto que X - A e A - X ≠ Ø como (A - B) ⊂ X e (X - C) ⊂ A, então (A ∩ X) ⊂ A e (A ∩ X) ⊂ X, Portanto X = (A - B) ∪ C ⇔ (X - C) ∪ C = X.

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