Teoria dos Conjuntos

por Oziel Seg 25 Set 2017, 09:23

Num concurso, 3 problemas A,B e C foram propostos. Dos concorrentes 25 resolveram pelo menos 1 problema. Dos concorrentes que não resolveram o problema A, o número dos que resolveram B foi o dobro do número dos que resolveram C. O número de estudantes que resolveram apenas o problema A foi uma unidade maior do que o número dos que resolveram A e pelo menos um outro problema. Dos que resolveram apenas 1 problema, metade não resolveu A. Calcule o número de estudantes que resolveram apenas o problema B .

Gabarito:6

por Faxineiro do ITA Seg 25 Set 2017, 10:51

Teoria dos Conjuntos 0MC2RWc6Rn2R9E4SqDo7ig

Observe o nosso diagrama de venn, seguindo o enunciado, temos:
i)a + b + c + u + a,b + a,c + b,c = 25
ii)b + b,c = 2(b,c + c)
iii) a = 1 + a,c + a,b + u
iv) (a + b + c)/2 = b + c

Resolvendo esse sistema, caímos na seguinte equação: 3a + b,c = 26
Sabendo que como condição fundamental, temos que: Todos os elementos do diagrama de venn devem ser inteiros
As condições para tal equação são as seguintes:
a | b,c
8 2
7 5
6 8
5 11
4 14
3 17
2 20
1 23

Sabendo que além de seguir tal equação, devemos seguir também outras, como:
3b - b,c = 2a e c = (b - b,c)/2
Chegamos que a única solução seja que b = 6