Congruência Polinomial

por Presa Ter 15 Ago 2017, 22:13

Qual o resto da divisão de

pelo polinômio

?

(A) -2x

(B) -2

(C) x

(D) -x

(E) 0

por **Elcioschin** Ter 15 Ago 2017, 22:33

Divida pelo método da chave, que você descobre:

x¹¹⁰ + 0.x¹⁰⁹ + .... + 0.x² - x |x² + x
-x¹¹⁰ -... x¹⁰⁹ ........................ x¹⁰⁸ - x¹⁰⁷+ x¹⁰⁶+ .....

Complete

por **fantecele** Ter 15 Ago 2017, 22:57

x² + x ≡ 0 (mod x²+x)
x² ≡ - x (mod x²+x)
$\\x^2\equiv -x\,\,\,(\mod x^2+x)\\x^{110}\equiv (-x)^{55}\,\,\,(\mod x²+x)\\x^{110}\equiv -x\,\,\,(\mod x^2+x)\\x^{110}-x\equiv -2x\,\,\,(\mod x^2+x)$

Uma outra forma rápida é fazer:
x^{110} - x = x(x+1)Q(x) + ax + b

Faz x = 0 e x = -1 e resolva o sistema.

por Presa Qui 07 Set 2017, 08:48

Olá !! Só não entendi a parte de quando eleva a 55, não ficaria x^110 ≡ - x^55 (mod x²+x),ao invés de x^110 ≡ - x (mod x²+x) ?!

por **fantecele** Qui 07 Set 2017, 10:30

Os dois estão certos, é fácil calcular que "-x^55 ≡ - x (mod x² + x)", então "x^110 ≡ -x^55 (mod x²+x)" é o mesmo que escrever "x^110 ≡ - x (mod x²+x)", eu só esqueci de digitar a primeira parte ali de cima.

por al171 Qua 31 Ago 2022, 01:43

\[ \begin{aligned}
& x^{110} - x \equiv \ ? \ ( \mathrm{mod} \ x^2+x ) \\
& x^2 \equiv - x \ ( \mathrm{mod} \ x^2+x ) \implies x^{110} \equiv -x \ ( \mathrm{mod} \ x^2+x ) \implies x^{110} - x \equiv -2x \ ( \mathrm{mod} \ x^2+x )
\end{aligned}
\]
Resposta: $-2x$.