(USA) Trigonometria

por fernandobvm Ter 15 Ago 2017, 15:12

Sabendo que (1 + sent)(1 + cost) = 5/4 e que o valor da expressão (1 - sent)(1 - cost) é da forma a/b - sqrt(c) com a,b números primos entre si e c <= 10. Então o valor de a + b + c vale:
A)24
B)27
C)30
D)32
E)36

Gabarito:

por **fantecele** Ter 15 Ago 2017, 23:32

(1 - senθ)(1 - cosθ) = k
1 - senθ - cosθ + senθcosθ = k
senθ + cosθ = 1 + senθcosθ - k (I)

(1 + senθ)(1 + cosθ) = 5/4
1 + senθ + cosθ + senθcosθ = 5/4 (II)

Substituindo (I) em (II):
1 + 1 + senθcosθ - k + senθcosθ = 5/4
2senθcosθ = k - 3/4 (III)

Substituindo (III) em (I):

senθ + cosθ = 1 - k + k/2 - 3/8
senθ + cos θ = 5/8 - k/2

Elevando ao quadrado e lembrando de (III) e que sen²θ + cos²θ = 1:
1 + k - 3/4 = 25/64 - 5k/8 + k²/4
16k² - 104k + 9 = 0

Sendo k da forma a/b - √c, com a e b primos entre si:

k = 13/4 - √10

a = 13; b = 4; c = 10

Dessa forma:
a + b + c = 27

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