UEM 2016 - Números Complexos

por biaavanzi Sex 14 Jul 2017, 19:33

Seja z um número complexo qualquer. Sabendo-se que o argumento de um número complexo é único, assinale o que for correto.

01) Se z=a+bi e arg z=θ, então cosθ=b/(a²+b²)
02) Sendo o argumento de z igual a pi/6, então o arg do conjugado de z é 2pi-pi/6
04) Se argumento do produto de z pelo seu conjugado é igual 2arg(z), então z é um número imaginário puro.
08) Para todo z pertencente ao C-{0} (sendo C o conjunto dos complexos) e para todo n ∈ ℤ+, temos arg(z)≤arg(z^n).
16) Sendo arg z=3pi/4 e |z|=2, então z¹²⁸é um número real puro.

Gab.: 02+16

por **Victor011** Sáb 15 Jul 2017, 00:52

\\01)\;\;\begin{cases}z=a+bi\\z=|z|.cis\theta\\|z|=\sqrt{a^2+b^2}\end{cases}\;\to\; a+bi=\sqrt{a^2+b^2}.cis\theta\\\\a+bi=\sqrt{a^2+b^2}.cos\theta+\sqrt{a^2+b^2}.sen\theta.i\\\\\begin{cases}a=\sqrt{a^2+b^2}.cos\theta\\b=\sqrt{a^2+b^2}.sen\theta\end{cases}\;\to\;cos\theta=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\;\;(errado)\\\\\\02)\;\;z=|z|.cis\frac{\pi}{6}=|z|.cos\frac{\pi}{6}+i.|z|.sen\frac{\pi}{6}\\\\\begin{cases}\overline{z}=|z|.cos\frac{\pi}{6}-i.|z|.sen\frac{\pi}{6}\\sen\frac{\pi}{6}=-sen(2\pi-\frac{\pi}{6})\\cos\frac{\pi}{6}=cos(2\pi-\frac{\pi}{6})\end{cases}\\\\\;\to\;\overline{z}=|z|.cos(2\pi-\frac{\pi}{6})+i.|z|.sen(2\pi-\frac{\pi}{6})=|z|.cis(2\pi-\frac{\pi}{6})\;\;(verdade)

\\04)\;\;z=|z|.cis\theta\;\to\;\overline{z}=|z|.cis(2\pi-\theta)\\\\z.\overline{z}=|z|^{2}.cis\theta.cis(2\pi-\theta)=|z|^{2}.cis2\pi\\\\2\pi=2.arg(z)\;\to\;arg(z)=\pi\\\\\;\to\;z=|z|.(cos\pi+i.sen\pi)\;\to\;z=-|z|\;\;(errado)\\\\\\08)\;\;z=|z|.cis\theta\;\to\;arg(z)=\theta\\\\z^n=|z|^{n}.cis^{n}\theta=|z|^{n}.cis(n\theta)\;\to\;arg(z^{n})=n\theta\\\\\bullet\;\theta\le n\theta\;\to\;arg(z)\le arg(z^{n})\;\;\text{(errado, pois n\~ao vale para}\;\theta\;\text{negativo)}

\\16)\;\;z=|z|.cis\theta\\\\z=2.cis\frac{3\pi}{4}\;\to\;z^{128}=2^{128}.cis(128.\frac{3\pi}{4})\\\\z^{128}=2^{128}.cis96\pi.=2^{128}.(cos96\pi+i.sen96\pi)\\\\z^{128}=2^{128}\;\;(verdade)

UEM 2016 - Números Complexos

UEM 2016 - Números Complexos

Re: UEM 2016 - Números Complexos

Um fórum livre e democrático.