Equação trigonométrica complicada?

por **Elcioschin** Qua 04 maio 2011, 21:37

\/3*cosx + senx = k - 3

Quais são os valores inteiros de k que tornam real a equação acima?

por mcgiorda Sex 06 maio 2011, 21:47

poderia mandar a equação pelo editor LaTeX? Não consegui entender se a raiz cúbica é apenas no cosseno, ou no seno também.

por **Elcioschin** Sex 06 maio 2011, 22:07

Mesmo sem o LaTeX é exatamente como está escrito. A raiz abrange somente o 3
Se abrangesse algo mais eu teria escrito \/(3*cosx) ou \/(3*cosx + senx)

por mcgiorda Sex 06 maio 2011, 23:21

Cheguei numa solução:

$\sqrt{3}\cos x \, + \, \sin x\, =\, k-3$

$\cos x \, =\, \frac{(k-3\, - \, \sin x)\, \sqrt{3}}{3}$

$-1\, \leq \, \cos x\, \leq 1$

PARA cosx <= 1:

$\frac{(k-3-\sin x)\, \sqrt{3}}{3}\leq 1 \; {\color{Red} \rightarrow} \; k-3-\sin x\leq \sqrt{3}\; {\color{Red} \rightarrow} \;k\leq \sqrt{3}+3+\sin x$

LIMITES:
senx = +1

$k\leq 4+\sqrt{3}$

senx = -1

$k\leq 2+\sqrt{3}$

>>> $(k\leq 2+\sqrt{3}) \; \; \; \bigcup \; \; \; (k\leq 4+\sqrt{3}) = {\color{Red}k\leq 4+\sqrt{3} }$

PARA cosx >= -1:

$\frac{(k-3-\sin x)\, \sqrt{3}}{3}\geq -1 \; {\color{Red} \rightarrow} \; k-3-\sin x\geq -\sqrt{3}\; {\color{Red} \rightarrow} \;k\geq 3+\sin x-\sqrt{3}$

LIMITES:
senx = +1

$k\leq 4+\sqrt{3}$

senx = -1

$k\leq 2+\sqrt{3}$

>>> $(k\geq 2-\sqrt{3}) \; \; \; \bigcup \; \; \; (k\geq 4-\sqrt{3}) = {\color{Red}k\geq 2-\sqrt{3} }$

PORTANTO (supondo V3 ~= 1,73):

$\large (2-\sqrt{3})\leq k\leq (4+\sqrt{3})\; {\color{Red}\rightarrow } \:{\color{Blue}0,27\leq k\leq 5,73 }$

ENTÃO k = {1,2,3,4,5}

por **Elcioschin** Sáb 07 maio 2011, 13:32

Sua solução está correta.

Veja agora outra solução mais rápida:

\/3*cosx + senx = k - 3 ----> Multiplicando por 1/2

(V3/2)*cosx + (1/2)*senx = (k - 3)/2

cos30º*cosx + sen30º*senx = (k - 3)/2

cos(x - 30º) = (k - 3)/2

-1 =< cos(x - 30º) =< 1 ----> -1 =< (k - 3)/2 =< 1 ----> - 2 =< k - 3 =< 2 ---->

1 =< k =< 5 ----> k = {1, 2, 3, 4, 5}