Números complexos

Sabendo-se que o número complexo z = x + iy, com x < 0 < y, satisfaz z⁸ = 1, pode-se afirmar que  é

A) –1 
B) 1
C) 
D) –i
E) i

Sendo x < 0 < y, os afixos devem pertencer ao "2° quadrante". Dessa forma k deve ser igual a 3, então z será igual a  e z² igual a , portanto z² = -i e .

Obrigado pela resolução.

Por estar afastado dos estudos a alguns meses, ainda possuo algumas dificuldades. Tenho noção que cis(θ) representa a forma trigonométrica (cos(θ)+isen(θ)), mas ainda não consegui entender sua resolução.

Dúvidas:

-Sendo z⁸ = 1, isso implica que o módulo de z é 1? Se sim, por quê? 
-Baseado em que, pode-se afirmar que θ=2πk/8?
-Por que k=3?

-Sendo z⁸ = 1, isso implica que o módulo de z é 1? Se sim, por quê? 
Sim. É fácil perceber que |z⁸| = 1, sendo |zⁿ| = |z|ⁿ, temos que |z⁸| = |z|⁸ = 1. O módulo de um número complexo dever ser real e positivo, dessa forma se |z|⁸ = 1 → , necessariamente |z| é igual a 1.


-Baseado em que, pode-se afirmar que θ=2πk/8?
Segunda lei de Moivre:


z⁸ = 1
z⁸ = cos(0)
z⁸ = cis(0)

Utilizando a segunda lei de Moivre, sendo "θ" = 0 e |z⁸| = 1:


k = 0; 1; 2; ...; 7.


-Por que k=3?
Temos que , dessa forma:



Obviamente  é positivo.

Do enunciado temos que x < 0 < y, portanto o cosseno deve ser negativo e o seno positivo.
De , vemos que o único valor que satisfaz a condição do seno e do cosseno acima é para quando temos k = 3.

z⁸ = 1
z⁸ = cos(0)
z⁸ = cis(0)

Nessa parte usa o cosseno como base porque o valor de z⁸ é real, não é?

z⁸ sim, cos(0) = 1.
A ideia ali era colocar o z⁸ na forma trigonométrica (z⁸ = cos(0) + i.sen(0)), acabei esquecendo do "i.sen(0)", porém não faz muita diferença, já que sen(0) = 0.

Valeu!