Numeros complexos/conjugado

DEMONSTRAR QUE==> CONJUGADO(z elevado a N) = (CONJUGADO DE Z)elevado a N

As maneiras de resolução que me vieram a cabeça foram:
substituir n por algum valor(2 por exemplo), mas não faria o que manda a questão, ou fazer o seguinte:

•(x+yi)ⁿ==>(x+yi)(x+yi)(x+yi)...(x+yi) n vezes, logo==>(x(x+yi)+yi(x+yi))(x+yi)ⁿ-²==>x(x+yi)ⁿ-¹+yi(x+yi)ⁿ-¹ (esquerda)

•(x-yi)ⁿ==>(x-yi)(x-yi)(x-yi)...(x-yi) n vezes, logo==>(x(x-yi)-yi(x-yi))(x-yi)ⁿ-²==>x(x-yi)ⁿ-¹-yi(x-yi)ⁿ-¹ 

(direita)

Então para conseguir o conjugado de um complexo, multiplica-se a parte imaginária por -1, para trocar o sinal, logo:

x(x+yi(-1))ⁿ-¹+(-1)yi(x+yi(-1))ⁿ-¹==>x(x-yi)ⁿ-¹-yi(x-yi)ⁿ-¹

acertei? esse é o jeito de resolver? se alguém tem outra forma por favor postar, e se eu tiver errado em algo, me corrijam, desde já agradeço.

up

O que você fez não possui nenhum erro, porém não demonstrou nada, uma vez que não abriu o complexo nas suas partes real e imaginária. A demonstração correta seria usando que "o produto dos conjugados é igual ao conjugado dos produtos". Imagine, por exemplo, os complexos z=a+bi e w=c+di:

\\\text{quero provar que:}\;\;\overline{z}\times\overline{w}=\overline{z\times w}\\\\\overline{z}\times\overline{w}=(a-bi)(c-di)=(ac-bd)-(ad+bc)i\;\;\; (1)\\\\z\times w=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bd)i\;\to\;\overline{z\times w}=(ac-bd)-(ad+bc)i\;\;\;(2)\\\\(1)=(2)\;\to\;\overline{z}\times\overline{w}=\overline{z\times w}\;\;\;\text{[como quer\'iamos demonstrar]}

Vamos aplicar isso para a questão agora. Se n fosse igual a 2, teríamos o mesmo caso de cima, trocando w por z. Logo, para n=2 é verdade. Para provar formalmente que é verdade para todo n, é necessário utilizar o princípio de indução finita. Veja:
 
\\\text{base da indu\c{c}\~ao:}\;\;n=2\to\text{\'e verdade}\\\\\text{hip\'otese indutiva: supondo que vale para n=k:}\\\\\overline{z^{k}}=\overline{z}^{k}\\\\\text{passo indutivo: provar que vale para n=k+1:}\\\\\overline{z^{k+1}}=\overline{z^{k}\times z}=\overline{z^{k}}\times\overline{z}\\\\\text{usando a hip\'otese indutiva:}\;\;\overline{z^{k+1}}=\overline{z}^{k}\times\overline{z}=\overline{z}^{k+1}\;\;\text{[logo, pelo P.I.F., vale para todo n]}

Se não quiser tanta formalidade, basta provar para n=2 e dizer que o n=3, por exemplo, seria equivalente a fazer z elevado a 2 vezes z, e para n=4, seria equivalente a fazer z elevado a 3 vezes z (sempre usando a ideia de que o produto dos conjugados é igual ao conjugado dos produtos, para dois termos quaisquer), de forma que acaba valendo para todo n inteiro. OBS: embora o princípio de indução finita seja válido apenas para números naturais, nada impede que a fórmula da questão valha para todos os números inteiros também. Para isso, basta fazer uma substituição de variáveis, substituindo n por -n, e fazer o P.I.F. de novo.