Função trigonométrica

por camussoares Seg 02 maio 2011, 21:25

Demonstrar que os arcos compreendidos nas expressões: +-30° + k.120° e 30° + 60°.h, k e h E Z são os mesmos.

por mcgiorda Sex 06 maio 2011, 22:39

Bem ai vai o que eu acho:

$\left \{A_{1}=\pm 30º + 120ºk$
$\left \{A_{2}=30º + 60º h$

Segundo o enunciado:
$A_{1}=A_{2}$ ----- $\forall k,h \epsilon \mathbb{Z}$

Principio da indução finita:

a) p/ k e h:

1ª Possibilidade (+30º):
$\frac{\pi }{6} + \frac{\pi }{3}h = +\frac{\pi }{6}+\frac{2\pi }{3}k$

$\frac{\pi }{3}h = \frac{2\pi }{3}k$

$h=2k\: \rightarrow \: \forall h\epsilon \mathbb{Z}\Rightarrow (2k) \epsilon \mathbb{Z}$

2ª Possibilidade (-30º):
$\frac{\pi }{6} + \frac{\pi }{3}h = -\frac{\pi }{6}+\frac{2\pi }{3}k$

$\frac{2\pi }{6} + \frac{\pi }{3}h = \frac{2\pi }{3}k$

$h+1=2k$

$h=2k-1\: \rightarrow \: \forall h\epsilon \mathbb{Z}\Rightarrow (2k-1) \epsilon \mathbb{Z}$

b) p/ k+1 e h+1:

1ª Possibilidade (+30º):

$\frac{\pi }{6} + \frac{\pi }{3}(h+1) = +\frac{\pi }{6}+\frac{2\pi }{3}(k+1)$

$\frac{\pi }{3}(h+1) = \frac{2\pi }{3}(k+1)$

$h=2k+1\: \rightarrow \: \forall h\epsilon \mathbb{Z}\Rightarrow (2k+1) \epsilon \mathbb{Z}$

2ª Possibilidade (+30º):

$\frac{\pi }{6} + \frac{\pi }{3}(h+1) = -\frac{\pi }{6}+\frac{2\pi }{3}(k+1)$

$\frac{2\pi }{6} + \frac{\pi }{3}(h+1) = \frac{2\pi }{3}(k+1)$

$1+h+1=2k+2$

$h=2k\: \rightarrow \: \forall h\epsilon \mathbb{Z}\Rightarrow (2k) \epsilon \mathbb{Z}$

Bem, na realidade, eu utilizei as informações do enunciado.Ele afirma que aquela ~~afirmação~~ proposição é verdadeira para qualquer k e h pertencentes à Z. Então eu provei que sempre k e h pertencerão à Z. Não sei se está correto, mas foi a unica saída que encontrei.

Abraços!