Deslocamento

por vestdie Dom 04 Jun 2017, 23:05

Um bloco de massa m é solto do topo de um plano inclinado de massa M, como mostrado na figura, onde todas as superfícies em contacto são sem atrito. O deslocamento do plano quando o bloco atinge o solo é:

Deslocamento Cap09q10

a) ML/(m+M);
b) mL/(m+M);
c) mML/(m+M);
d) mML/(m−M);
e) mL/(m−M);

Gabarito:

por igorrudolf Seg 05 Jun 2017, 01:02

A força que atua na direção horizontal e para a esquerda (responsável pelo deslocamento do plano) é uma componente da força de compressão que o bloco exerce no plano. (seu módulo é igual ao módulo da normal plano/bloco).

Podemos isolar a aceleração do plano inclinado (a):

$N.\sin (\theta)=(M+m)a\rightarrow P.\cos(\theta)\sin (\theta)=(M+m)a\\\\\rightarrow m.g.\cos (\theta).\sin (\theta)=(M+m)a\rightarrow a=\frac{m.g.\cos (\theta).\sin (\theta)}{(M+m)} \: \: \: (I)$

O deslocamento do plano inclinado (d) é dado por:

$S=S_o+V_ot+\frac{at^{2}}{2}\rightarrow d=\frac{at^{2}}{2}\: \: \: (II)$

De (I) em (II):

$d=\frac{m.g.\cos (\theta).\sin (\theta).t^{2}}{2(M+m)}\: \: \: (i)$

Onde t é o tempo que o bloco demora para descer o plano inclinado.

Podemos isolar a aceleração do bloco (a'):

$P.\sin (\theta)=m.a'\rightarrow m.g.\sin(\theta)=m.a'\\\\\rightarrow a'=g.\sin(\theta)\: \: \: (III)$

Chamando de d' a distância percorrida pelo bloco, temos:

$\cos (\theta)=\frac{L}{d'}\rightarrow d'=\frac{L}{\cos (\theta)}\: \: \: (IV)$

Além disso:

$S = S_o+V_ot+\frac{a't^{2}}{2}\rightarrow d'=\frac{a'.t^{2}}{2} \: \: \: (V)$

Substituindo (III) e (IV) em (V), temos:

$\frac{L}{\cos (\theta)}=\frac{g.\sin (\theta).t^{2}}{2}\rightarrow t^{2}=\frac{2L}{g.\sin (\theta)\cos (\theta)}\: \: \: (ii)$

Finalmente, de (ii) em (i):

$d=\frac{m.g.\cos (\theta).\sin (\theta).2L}{2(M+m).g.\sin (\theta).\cos (\theta)}\: \: \: \rightarrow \boxed{d=\frac{mL}{(m+M)}}$

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