ITA - Binômio de Newton

por Marlooof Sex 12 maio 2017, 10:28

Dadas as afirmações:

I. $ITA - Binômio de Newton Gif.latex?%5Cbinom%7Bn%7D%7Ba%7D+%5Cbinom%7B2%7D%7B1%7D+%5Cbinom%7Bn%7D%7B2%7D+..$

II. $ITA - Binômio de Newton Gif.latex?%5Cbinom%7Bn%7D%7Bk%7D%3D%5Cbinom%7Bn%7D%7Bn-k%7D%2C%20n%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BN%7D%2C%20k%3D1%2C2%2C3..$

III. Existem mais possibilidades de escolher 44 números diferentes entre os números inteiros de 1 a 50 do que escolher 6 números diferentes entre os números inteiros de 1 a 50.

Conclui-se que:

a) Todas são verdadeiras.
b) Apenas as afirmações I e II são verdadeiras.
c) Apenas I é verdadeira.
d) Apenas II é verdadeira.
e) Apenas II e III são verdadeiras.

por **fantecele** Sex 12 maio 2017, 11:50

$I\rightarrow (x+y)^n = \sum_{p=0}^{n}\binom{n}{p}x^p.y^{n-p}$ ; Para todo n, n ∈ ℕ.

$\text{Fazendo x = y = 1:}\\2^n = \sum_{p=0}^{n}\binom{n}{p}$

$II\rightarrow \binom{n}{n-p}=\frac{n!}{(n-p)!.(n-(n-p))!}=\frac{n!}{(n-p)!.(p)!}=\binom{n}{p}$

III - Conforme II você pode perceber que está errado essa afirmação.
$\binom{50}{44}=\binom{50}{50-44}= \binom{50}{6}$

Portanto temos que apenas I e II são verdadeiras.

por Marlooof Sex 12 maio 2017, 12:26

Na II, o enunciado desconsidera o k=0, mas ele também é valido para k=0. Isso tornaria a alternativa falsa, ou não importa se ele restringir o conjunto de valores que k pode assumir?

por **fantecele** Sex 12 maio 2017, 13:13

Nem tinha reparado nisso, mas se você pegar a prova do ita (que é a de 1996) eles colocaram o k = 0,1,2,...,n.
Se levar em consideração a sua questão eu teria assinalado a II como falsa.

por **petras** Sex 12 maio 2017, 13:23

Eu penso diferente do colega fantecele e considero verdadeiro a alternativa II.
A afirmação feita está correta. Para aqueles valores de k a alternativa é verdadeira.Se a restrição fosse "somente" para k=1,2... aí seria o caso de considerar incorreto pois não estaria considerando o valor de k=0.