Função II

por RenataRodrigues Qua 05 Abr 2017, 10:10

Seja f: ℝ -> ℝ uma função tal que f(x - f(y)) = f(f(y)) + xf(y) + f(x) - 1, para qualquer x,y pertencente aos reais.
Determine f(x).

Resposta: 1 - (x²/2)

Resolvi da seguinte forma e gostaria de ter certeza se as manipulações algébricas que fiz estão corretas:

Para f(y) = x

f(0) = f(x) + x² + f(x) - 1 (I)

Para x = y = 0

f(-f(0)) = f(f(0)) + f(0) - 1 ---> f(0) = k
f(-k) = f(k) + k - 1
Se f é par: temos que k = 1 = f(0) (II)
Se f é ímpar: f(k) = f(f(0)) = (1-k)/2 (III)
Com (II) em (I):
1 = 2f(x) + x² - 1
f(x) = 1 - (x²/2)

Grata Smile

por **fantecele** Qui 06 Abr 2017, 21:24

Acho que não está totalmente certo não, porque você fez a parte "Se f é par", você supôs essa parte, depois você foi e utilizou como se fosse verdade e acabou a questão, na verdade você deveria provar que a função é par. Em questões de equação funcional que já vi resolvidas, as pessoas que respondiam provavam que certa função é par ou ela é ímpar, se é bijetora. Então é sempre bom provar esse tipo de coisa.

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