Círculo inscrito em losango

por Takeshi2707 Sex 24 Fev 2017, 15:28

UFMG 89 Se as medidas ,em metros, das diagonais de um losango são a e b , então a medida do raio do círculo inscrito nesse losango é , em metros:
Resposta: ab/2 * raiz a ^2 + b^2

por Convidado Sex 24 Fev 2017, 17:07

Por Pitágoras no ∆ABC: L²=(a²+b²)/4 -> L=√(a²+b²)/2

R.L=AB.BC -> R[√(a²+b²)/2]=(a/2)(b/2) -> R=(ab/2){1/[√(a²+b²)]}

Obs: Em "R.L=AB.BC", em que R=BQ e L=AC, foi utilizada uma das relações métricas no triângulo retângulo.

por **Elcioschin** Sex 24 Fev 2017, 18:38

Outro modo, usando Trigonometria:

Seja ABCD o losango, com AC = a e BD = B
Seja O o centro do losango e seja θ = OÂB
Seja P o ponto onde a circunferência tangencia AB ---> OP = r

OA = OC = a/2 ---> OB = OD = b/2

AB² = OA² + OB² = (a/2)² + (b/2)² ---> AB² = (a² + b²)/4 ---> AB = √(a² + b²)/2

cosθ = OA/AB ---> cosθ = (a/2)/√(a² + b²)/2 ---> cos²θ = a²/(a² + b²)

AP = OA.cosθ ---> OP² = OA² - AP² ---> r² = (a/2)² - (a/2)².cos²θ --->

r² = a²/4 - (a²/4).a²/(a² + b²) ---> r² = (a²/4).[1 - a²/(a² + b²)] --->

r² = a².b²/4.(a² + b²) ---> r = a.b/2.√(a² + b²)

por Takeshi2707 Sex 24 Fev 2017, 20:22

Muito Obrigado! E sobre essa relação trigonométrica não seria o mesmo que igualar as áreas do triângulo? Ali no caso tu ta achando a área pela altura refente a hipotenusa e igualando com a área e altura que tu conhece ( a/2 e b/2).

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