UDESC 2010 - Matriz

por Daniel Freitas Rodrigues Qui Fev 16 2017, 12:08

Considere a matriz A =

1	2
a	1

, com α∈R . O conjunto solução da inequação |det(A^2 - A)| ≤ 4a^2 é:

Resposta correta:

{a∈R/ a =0 ou a≥1/4 }

Não cheguei em nenhuma resolução. Grato!

por **Elcioschin** Qui Fev 16 2017, 13:14

......1 ... 2
A =
......a ... 1

................. 1 ... 2 ..... 1 ... 2 ..... 2a+1 .... 4
A² = A.A = .............x........... =
................. a ... 1 ..... a ... 1 ....... 2a .... 2a+1

.............2a+1 .... 4 ...... 1 ... 2 .......2a ... 2
A² - A = ................... - ............ =
.............. 2a ... 2a+1 .._ a ... 1 ....... a ... 2a

det(A² - 2.a) = 4.a² - 2a

|4.a² - 2.a| ≤ 4.a² ---> temos duas possibilidades:

1) + (4.a² - 2.a) ≤ 4.a² ---> - 2.a ≤ 0 ---> a ≥ 0 ---> I

II) - (4.a² - 2.a) ≤ 4.a² --> -4.a² - 2.a ≤ 4.a² --> 8.a² - 2.a ≥ 0 --> 3.a.(4.a - 1) ≥ 0

Raízes a = 0 e a = 1/4 ---> a ≤ 0 ou a ≥ 1/4 --> II

Interseção ---> a = 0 ou a ≥ 1/4

por **petras** Qui Fev 16 2017, 13:14

A^2 =

1+2a --- 4
2a --- 2a+1

A^2-A =
2a--- 2
a--- 2a

Det (A^2-A)= 4a^2-2a

Det (A^2-A) <=4a^2 ---> 4a^2 - 2a <=4a^2

| DetA^2-A)| <=4a^2 ---> -4a^2 <=4a^2-2a <=4a^2

1) -8a^2<=-2a<=0
-8a^2+2a<=0
2a(-4a+1)<=0
a <=0 ou a >=1/4 (I)

2) 4a^2-2a <=4a^2
-2a <=0
a >=0 (II)

Interseção de I e (II) --> a = 0 ou a >=1/4

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