Racionalização

por Presa Qua 08 Fev 2017, 23:06

Simplificando Racionalização CodeCogsEqn2

obtemos :

A)1

B)5

C)10

D)15

E)20

Obs : Sem Gabarito

por PedroCunha Qui 09 Fev 2017, 08:55

Olá, bom dia!

Questão bem trabalhosa. Imagino existir um jeito bem mais fácil que o que vou postar.

Note que podemos reescrever N da seguinte maneira:

\\ N = \left[ \frac{(11\sqrt2+9\sqrt3)^{\frac{6040}{3}}}{(\sqrt2+\sqrt3)^{6040}} \cdot (11\sqrt2+9\sqrt3)^{\frac{2}{3}}\right] + \left[ \frac{(11\sqrt2-9\sqrt3)^{\frac{6040}{3}}}{(\sqrt2-\sqrt3)^{6040}} \cdot (11\sqrt2 - 9\sqrt3)^{\frac{2}{3}}\right]

Agora, vamos encontrar \sqrt[3]{11\sqrt2 + 9\sqrt3} e \sqrt[3]{11\sqrt2 - 9\sqrt3} .

\\ \sqrt[3]{11\sqrt2+9\sqrt3} = a\sqrt2 + b\sqrt3, a,b \in \mathbb{R}

Elevando ambos os lados ao cubo:

\\ 11\sqrt2 + 9\sqrt3 = 2\sqrt2a^3 + 6\sqrt3a^2b + 9\sqrt2ab^2 + 3\sqrt3b^3 = \sqrt2 \cdot (2a^3+9ab^2) + \sqrt3 \cdot (6a^2b + 3b^3)

Então, por igualdade de coeficientes:

\\ \begin{cases} 2a^3 + 9ab^2 = 11 \dots I \\ 3b^3 + 6a^2b = 9 \dots II \end{cases}

Fazendo 9 \cdot I = 11 \cdot II , temos:

\\ 18a^3 + 81ab^2 = 33b^3 + 66a^2b \therefore 11b^3 - (27a) \cdot b^2 + (22a^2) \cdot b - 6a^3 = 0

Note que \\ a = b = 1 é solução. Portanto, uma das maneiras de representar a raiz cúbica que separamos (podem existir outras) é:

\\ \sqrt[3]{11\sqrt2+9\sqrt3} = \sqrt2 + \sqrt3 .

Fazendo o mesmo processo para \sqrt[3]{11\sqrt2-9\sqrt3} , encontramos \sqrt2 - \sqrt3 .

Assim, podemos reescrever a equação inicial como:

\\ N = \left[\frac{(\sqrt3+\sqrt2)^{6040}}{(\sqrt3+\sqrt2)^{6040}} \cdot (\sqrt3+\sqrt2)^2\right] + \left[ \frac{(\sqrt2-\sqrt3)^{6040}}{(\sqrt2-\sqrt3)^{6040}} \cdot (\sqrt2-\sqrt3)^2\right] \therefore \\\\ N = 2+2\sqrt6+3+2-2\sqrt6+ 3 \Leftrightarrow \boxed{\boxed{ N = 10 }}

É isso. Qualquer dúvida é só perguntar.

Abraço,
Pedro

por Presa Qui 09 Fev 2017, 20:41

Boa noite amigo PedroCunha !!
A única coisa que não consegui compreender foi essa parte Racionalização Zzzzzz

, teria como me explicar ?!

por PedroCunha Qui 09 Fev 2017, 21:17

Boa noite, Presa.

Isso é apenas um artifício para descobrir a raiz cúbica da expressão. Fazemos algo semelhante quando utilizamos a técnica das frações parciais. No caso deste exercício, consistiu em igualar o coeficiente que acompanhavam os termos semelhantes em ambos os lados da equação. A ideia utilizada na técnica de radicais duplos também parte disso.

Abraço,
Pedro