Função

por Presa Ter 03 Jan 2017, 14:13

A expressão da função f que satisfaz à equação Função 2qd1wqv

[/img] , x ≠ 1, é :

Função Esstpk

[/img]

[/img]

Sem Gabarito

por Thomas Prado Ter 03 Jan 2017, 15:53

Tenta usar a mesma ideia que eu fiz aqui: https://pir2.forumeiros.com/t124444-funcao-r-em-r

por Thomas Prado Dom 08 Jan 2017, 00:14

Achei que usando a ideia carteada que havia proposto sairia, mas não consegui. Alguém conseguiu?

por Presa Seg 09 Jan 2017, 08:00

Olá amigo !! Tentei também, mas não consegui...

por **petras** Seg 09 Jan 2017, 22:20

Segue resolução que consegui com jedi:

Gabarito LETRA C:

Substituindo x por \frac{1}{1-x} teremos:

f\left(\frac{1}{1-x}\right)+f\left(\frac{1}{1-\frac{1}{1-x}}\right)=\frac{1}{1-x}\rightarrow f\left(\frac{1}{1-x}\right)+f\left(\frac{x-1}{x}\right)=\frac{1}{1-x}

Aqui é o" pulo do gato", fazer uma nova substituição:

Substituindo x por \frac{x-1}{x}

f\left(\frac{x-1}{x}\right)+f\left(\frac{1}{1-\frac{x-1}{x}}\right)=\frac{x-1}{x}

Sistema:

f(x)+f\left(\frac{1}{1-x}\right)=x (I)
f\left(\frac{1}{1-x}\right)+f\left(\frac{x-1}{x}\right)=\frac{1}{1-x} (II)
f\left(\frac{x-1}{x}\right)+f(x)=\frac{x-1}{x} (III)

(I) - (II) = f(x)+f\left(\frac{1}{1-x}\right) - f\left(\frac{1}{1-x}\right)-f\left(\frac{x-1}{x}\right) = x - \frac{1}{1-x}

(I) - (II) = f(x)-f\left(\frac{x-1}{x}\right) = x - \frac{1}{1-x} (IV)

(III) + (IV) = f\left(\frac{x-1}{x}\right)+f(x)+f(x)-f\left(\frac{x-1}{x}\right) =\frac{x-1}{x}+ x - \frac{1}{1-x}

(III) + (IV) = 2f(x)=\frac{x-1}{x}+ x - \frac{1}{1-x}

2f(x)=\frac{x-x^2-1+x+x^2-x^3-x}{x(1-x)}

2f(x)=\frac{-x^3+x-1}{x(1-x)}(-1)

\\ \ \\\\ \boxed{\mathsf{ f(x) =\frac{x^3-x+1}{2x(x-1)} }}