Função R em R

por RamonLucas Sex 23 Dez 2016, 07:59

Seja $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ uma função tal que: 2f(x) + f(1-x) = x²

a) $\frac{x^{2}+2x-1}{3}$

b) $\frac{x^{2}+x+1}{3}$

c) $\frac{x^{2}-2x+1}{3}$

d) $\frac{x^{2}-2x-1}{3}$

e ) $x^{2}+2x-1$

Não possuo gabarito.

por **petras** Sex 23 Dez 2016, 08:54

Letra a )
\frac{1}{3}(2(x^{2}+2x-1)+(1-x)^{2}+2(1-x)-1))=x^{2}\\\\ 2x^{2}+4x-2+1-2x+x^{2}+2-2x-1 = 3x^{2}\\\\ 3x^{2}=3x^{2} \rightarrow x^{2}= x^{2}

por RamonLucas Sex 23 Dez 2016, 08:59

Petras. Não entendi. Pela análise você substituiu usando as alternativas na função ?

por **petras** Sex 23 Dez 2016, 09:06

Exatamente.

por **petras** Sex 23 Dez 2016, 09:23

Se não quiser usar as alternativas substitua (x-1) no lugar de na expressão do enunciado e resolva o sistema.
Equação I = 2f(x) + f(1-x) = x²
Equação II = 2f(x-1) + f(1-(1-x) = (1-x)²

Resolvendo o sistema encontrará f(x) = (x² + 2x - 1) /3

por **petras** Sex 23 Dez 2016, 10:19

Fazendo a substituição de x por 1-x teremos:

2f(1-x)+f(1-(1-x))=(1-x)^{2} = 2f(1-x) + f(x) = 1 -2x + x^{2}\\\\ f(1-x) + 2f(x) = x^{2} (I)\\\\ 2f(1-x) + f(x) = 1 -2x + x^{2} (II)\\\\ (I).(-2)+(II) \rightarrow -3f(x)=1 - 2x -x^{2}\\\\ f(x)=\frac{x^{2}+2x-1}{3}

por RamonLucas Sex 23 Dez 2016, 10:40

Petras. Obrigado.

Sou lerdo. Estar acerto a equação abaixo:

2f(x-1) + f(1-(1-x) = (1-x)²
2f(x-1) + f(1-1 +x) = x²-2x+1

2f(x-1) + f(0 +x) = x²-2x+1

2f(x-1) + f(x) = x²-2x+1

parei aqui, como que faz apartir daqui ?

por RamonLucas Sex 23 Dez 2016, 10:41

Petras. Obrigado.

Sou lerdo. Estar acerto a equação abaixo:

2f(x-1) + f(1-(1-x) = (1-x)²
2f(x-1) + f(1-1 +x) = x²-2x+1

2f(x-1) + f(0 +x) = x²-2x+1

2f(x-1) + f(x) = x²-2x+1

parei aqui, como que faz apartir daqui ?

por **petras** Sex 23 Dez 2016, 10:52

Basta ver no meu último post.

Seria 2 f(1-x) e não f(x-1).

Com essa equação que você encontrou mais a equação do enunciado você tem um sistema de 2 incógnitas e 2 equações. Resolvendo você encotrará f(x). Veja o post com a resolução.