Estudo da Variação das funções 4

Dois verticies de um retangulo R estao sobre o eixo X e os outros dois sobre o grafico de  . Considere o cilindro que se obtem girando o retangulo R em torno do eixo X. Determine o retangulo R de modo que o volume do cilindro seja o maior possivel.

Vértices: A(a, 0), B(b, 0), C(b, b/(1 + b²)) e D(a, a/(1 + a²))

O cilindro obtido pela rotação do retângulo ABCD em torno do eixo x possui raio AD e altura AB.
r = AD = a/(1 + a²)
h = AB = b - a
V = π*r²*h = π*(a/(1 + a²))²*(b - a)

Se ABCD é um retângulo então AD = BC. Que implica em:
a/(1 + a²) = b/(1 + b²) --> a = b ou b = 1/a
Como a ≠ b, então b = 1/a.

∴ V = π*r²*h = π*(a/(1 + a²))²*(1/a - a) = π(a - a³)/(a² + 1)²

Para V ser mínimo:
dV/da = 0 --> (a^4 - 6a² + 1)/(a² + 1)³ = 0 --> a^4 - 6a² + 1 = 0 --> a = √2 - 1
(Obs.: as outras soluções dessa equação não satisfazem as condições de ABCD ser um retângulo ou ter área mínima)

Note que √(3 - 2√2) = √(2 - 2√2 + 1) = √(√2 - 1)² = √2 - 1.

Obrigado pelas respostas!