Equação da circunferência
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Equação da circunferência
por JOAOCASSIANO Ter 29 Nov 2016, 10:30
Ache as circunferências de raio 5 que são tangentes à reta 3x + 4y - 35 = 0 no ponto (5,5).
Gabarito: (x- 8 )^2 + (y-9)^2 = 25 ou (x-2)^2 + (y-1)^2 = 25
Gabarito: (x- 8 )^2 + (y-9)^2 = 25 ou (x-2)^2 + (y-1)^2 = 25
JOAOCASSIANO- Recebeu o sabre de luz
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Re: Equação da circunferência
por EsdrasCFOPM Ter 29 Nov 2016, 12:59
Questão trabalhosa...
Sendo ''s'' uma reta perpendicular a reta ''r'' no ponto P(5,5), temos que:
3x + 4y - 35 = 0
y=-3x/4-35/4
mr=-3/4 ; mr.ms=-1
ms=4/3
(y-5)=(4/3).(x-5)
y=4x/3-5/3
Formando um círculo de centro em P(5,5) com raio=5, o centro de tais circunferências pertencerão a reta "s" e pertencerão a tal circunferência.
(x-5)2+(y-5)2=25
Substituindo o y da reta "s" na fórmula da circunferência, temos:
y=4x/3-5/3
(x-5)2+(4x/3-5/3-5)2=25
(x-5)2+(4x/3-20/3)2=25
25x2-250x+400=0 (÷25)
x2-10x+16=0
∆=36 -->√∆=6
x=(10±6)/2 --> x=8 e x'=2
Substituindo na fórmula da eq. da reta ''s'':
y=4x/3-5/3
y=9 e y'=1
C(8,9) e C'(2,1)
Logo:
( x - 8 )2+(y-9)2=25 ou (x-2)2+(y-1)2=25
Sendo ''s'' uma reta perpendicular a reta ''r'' no ponto P(5,5), temos que:
3x + 4y - 35 = 0
y=-3x/4-35/4
mr=-3/4 ; mr.ms=-1
ms=4/3
(y-5)=(4/3).(x-5)
y=4x/3-5/3
Formando um círculo de centro em P(5,5) com raio=5, o centro de tais circunferências pertencerão a reta "s" e pertencerão a tal circunferência.
(x-5)2+(y-5)2=25
Substituindo o y da reta "s" na fórmula da circunferência, temos:
y=4x/3-5/3
(x-5)2+(4x/3-5/3-5)2=25
(x-5)2+(4x/3-20/3)2=25
25x2-250x+400=0 (÷25)
x2-10x+16=0
∆=36 -->√∆=6
x=(10±6)/2 --> x=8 e x'=2
Substituindo na fórmula da eq. da reta ''s'':
y=4x/3-5/3
y=9 e y'=1
C(8,9) e C'(2,1)
Logo:
( x - 8 )2+(y-9)2=25 ou (x-2)2+(y-1)2=25
EsdrasCFOPM- Estrela Dourada
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Re: Equação da circunferência
por vivianhjkl Ter 29 Nov 2016, 13:21
A reta 1 que passa pelos centros das circunferências e pelo ponto P(5,5),ela também é perpendicular a reta 2: 3x+4y-35=0.
O coeficiente angular da reta 1 é:
m1.m2=-1 ----> m1=(-1)/(-3/4) ----> m1=4/3
Como a reta 1 passa pelo ponto P e tem coeficiente angular m1, logo:
m1=(y-5)/(x-5)---> 4/3=(y-5)/(x-5)-----> 3y-4x+5=0
seja C1 e C2 os centros das circunferências, ambas distam 5 do ponto P. Se C(a,b), a=x e b=(4x-5)3
d2=(x-5)2 +((4x-5)/3 -5)2 =52
x2 -10x +16=0
x1=8 e x2=2 ---> y1 =9 e y2=1
logo C1(8,9) e C2(2,1) e as equações das circunferências são:
C1: (x- 8 )2+(y-9)2=25 e C2: (x-2)2+(y-1)2=25
O coeficiente angular da reta 1 é:
m1.m2=-1 ----> m1=(-1)/(-3/4) ----> m1=4/3
Como a reta 1 passa pelo ponto P e tem coeficiente angular m1, logo:
m1=(y-5)/(x-5)---> 4/3=(y-5)/(x-5)-----> 3y-4x+5=0
seja C1 e C2 os centros das circunferências, ambas distam 5 do ponto P. Se C(a,b), a=x e b=(4x-5)3
d2=(x-5)2 +((4x-5)/3 -5)2 =52
x2 -10x +16=0
x1=8 e x2=2 ---> y1 =9 e y2=1
logo C1(8,9) e C2(2,1) e as equações das circunferências são:
C1: (x- 8 )2+(y-9)2=25 e C2: (x-2)2+(y-1)2=25
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Re: Equação da circunferência
por JOAOCASSIANO Sex 02 Dez 2016, 17:02
Entendi, muito obrigado Vivian e Esdras.
JOAOCASSIANO- Recebeu o sabre de luz
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