Circulo Inscrito

por EsdrasCFOPM Qua 23 Nov 2016, 14:07

Na figura, um círculo C de centro no ponto Q está inscrito em um quarto de círculo de raio OP, medindo 6cm. Então, o diâmetro de C mede, em cm,

A) 6(√2− 1)
B) 6(2 −√2)
C) 5√2 − 3
D) 4√2 − 1
E) 12(√2 − 1)

*Só preciso de uma luz para saber por onde começar.

por **ivomilton** Qua 23 Nov 2016, 17:10

EsdrasCFOPM escreveu:

Na figura, um círculo C de centro no ponto Q está inscrito em um quarto de círculo de raio OP, medindo 6cm. Então, o diâmetro de C mede, em cm,

A) 6(√2− 1)
B) 6(2 −√2)
C) 5√2 − 3
D) 4√2 − 1
E) 12(√2 − 1)

*Só preciso de uma luz para saber por onde começar.

Boa tarde, Esdras.

Ligue O a Q e prolongue até encontrar a circunferência.
Do ponto Q, baixe uma perpendicular a OP e identifique pela letra R seu encontro com OP.
Você obterá OR = QR = raio do círculo inscrito.
Já dá para você continuar?

Um abraço.

por poisedom Qua 23 Nov 2016, 17:13

Observe que o quadrado formado pelos pontos de tangencia do círculo C com o quarto de círculo e os pontos O e Q tem diagonal igual a

d=\sqrt{2}R

então

6=\sqrt{2}R+R

6=R(\sqrt{2}+1)

R=\dfrac{6}{\sqrt{2}+1}

agora racionalizando

R=\dfrac{6}{\sqrt{2}+1}\cdot \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1}

então o Raio é

R=\dfrac{6}{\sqrt{2}+1}

R=\dfrac{6\cdot(\sqrt{2}-1)}{1}

R=6\cdot(\sqrt{2}-1)

como o diâmetro é 2R temos

D=12\cdot(\sqrt{2}-1)

Resposta letra E

por **Elcioschin** Qua 23 Nov 2016, 17:14

Seja S o ponto superior do arco PS
Sejam L, M, N os pontos de tangência com OS, OP e arco PNQ

QL = QM = QN = OL = OM = r

OQ² = QL² + QM² ---> OQ² = r² + r² ---> OQ = r.√2

ON = OQ + QN ---> R = r.√2 + r ---> 6 = r.√2 + r ---> r.(√2 + 1) = 6 ---> r = 6.(√2 - 1)

d = 2.r ---> d = 12.(√2 - 1)

por EsdrasCFOPM Qua 23 Nov 2016, 18:13

Senhores, muito obrigado!

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