Círculo inscrito

Determine o raio do círculo.

Hgp2102 escreveu:Determine o raio do círculo.

Boa noite,

Fórmula da área de um triângulo, envolvendo o raio do círculo inscrito:
S = p*r
p = semi-perímetro

Como o triângulo é retângulo, calculemos a medida do terceiro lado (hipotenusa):
(hip)² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100
hip. = √100
hip. = 10

Logo,
2p = 6 + 8 + 10 = 24
p = 24/2 = 12

S = (cateto1 * cateto2)/2 = 6*8/2 = 48/2 = 24

Portanto, fica:
S = p*r
24 = 12*r
r = 24/12
r = 2



Um abraço.

Boa noite,

Obrigado pela solução. Mas o senhor tem alguma resolução alternativa usando somente Pitágoras e relações métricas? Acontece que esse problema está na parte em que ainda não envolve área, então há um jeito de resolver sem esse artifício e eu gostaria de saber como..

Mais uma vez, obrigado!

Senhor, se eu traçar a altura relativa à hipotenusa, há algo que me dê certeza de que essa altura passará pelo centro do círculo?

Pela imagem, coloquei em vermelho os pontos onde a circunferência tangencia os lados do triangulo. Pelo teorema dos segmentos tangentes, temos as medidas em amarelo, além disso, num triangulo retangulo, traçando o raio da circunferencia inscrita, partindo do centro até os pontos de tangência dos catetos, observamos a formação de um quadrado, onde o lado é o raio (x nesse caso)

Só resolver, sabendo que a hipotenusa vale 10, já montei a equação na imagem.

Abraços!

OBS: Nada lhe garante que alguma altura relativa a algum lado passará pelo centro da circunferência inscrita, uma vez que este centro é o INCENTRO, formado pelo encontro das BISSETRIZES. Porém, como não temos angulos cujos senos/cossenos são conhecidos, neste caso, as únicas formas plausíveis de solução que consigo pensar foram as apresentadas por mim e pelo mestre ivomilton.

Boa noite, abraços! Bons estudos

Muito obrigado aos dois, agradeço muito pela explicação clara e didática.
Abraços, boa noite ao senhores.

Hgp2102 escreveu:Senhor, se eu traçar a altura relativa à hipotenusa, há algo que me dê certeza de que essa altura passará pelo centro do círculo?

Boa noite,

Irei aproveitar o belo desenho do Imperial para demonstrar que a altura relativa à hipotenusa NÃO passa pelo centro do círculo inscrito:

Trace um segmento de reta partindo do vértice do ângulo reto até tocar a hipotenusa.
Como já sabermos, a parte vermelha que vai do centro do círculo até a hipotenusa é igual ao seu raio (=2).
A medida do segmento que vai do vértice ao ângulo reto até o incentro é igual à diagonal do quadrado limitado pelos raios horizontal e vertical em vermelho e parte dos catetos.
Essa medida, portanto, é igual a:
d² = r² + r² = 2² + 2² = 8
d = √8
d = 2√2

Adicionando-se a este valor a medida do raio que vai do incentro à hipotenusa, fica:
2√2 + 2 = 2(√2 + 1) = 2(1,414... + 1) = 2 x 2,414... = 4,828...  (*)

Ora, o produto dos catetos é igual ao produto da hipotenusa por sua respectiva altura:
6 x 8 = 10 x h
h = 48/10
h = 4,8 (**)

Concluindo, observe que (*) não coincide com (**).
Logo, a altura relativa à hipotenusa NÃO passa pelo centro do círculo, ou seja, do incentro.



Um abraço.