Embalagem de chocolate [UERJ]

anero1 escreveu:A embalagem de papelão de um determinado chocolate, representada na figura abaixo, tem a forma de um prisma pentagonal reto de altura igual a 5cm.




Em relação ao prisma, considere:

- cada um dos ângulos A, B, C e D da base superior mede 120 graus; 
- as arestas AB, BC e CD medem 10cm cada. 

Considere, ainda, que o papelão do qual é feita a embalagem custa R$10,00 por metros quadrados e que a raiz de 3 é igual a 1,75. Na confecção de uma dessas embalagens, o valor, em reais, gastos somente com o papelão é aproximadamente igual a: 


Gabarito: 0,95

Boa tarde, anero1.

Se os vértices A e D por um segmento de reta, a figura ficará dividida em um trapézio (ABCD) e um triângulo retângulo (ADE).

Isso porque a soma dos ângulos internos do pentágono é igual à soma de três triângulos (AEB, BEC e CED) totalizando 3*180°, ou seja, 540°.

540° - (4*120°) = 540° - 480° = 60°.

Sendo assim, o ^BAD deverá medir 120°-60°=60°, tendo o ^CDA igual medida.

Baixemos perpendiculares desde B e C até o segmento AD, identificando os pés dessas perpendiculares pelas letras F e G, respectivamente. Assim fazendo, obteremos a medida do ^ABF, que é de 30° (complemento do ^BAF). 

Logo, podemos escrever:
AF/AB = sen 30°
AF/10 = 1/2
2*AF = 10
AF = 5 cm.

E igualmente, DG = 5 cm.
AD = AF + FG + GD = 5 + 10 + 5
AD = 20 cm

(BF)² = (AB)² - (AF)² = 10² - 5² = 100 - 25 = 75
BF = √75 = 5√3 = 5*1,75
BF = 8,75 cm

Calculando as áreas do trapézio e do triângulo equilátero, vem:
S(ABCD) = (B+b)/2 * h = (20+10)/2 * 8,75 = 15 * 8,75 = 131,25 cm²
S(ADE) = l²√3/4 = 20²*1,75/4 = 700/4 = 175 cm²
S(ABDC) + S(ADE) = 131,25 + 175 = 306,25 cm²

Área da aba relativa à altura da embalagem:
(3*10 + 2*20) * 5 = 70 * 5 = 350 cm²

Totalizando as áreas das diversas partes da embalagem, fica:
Parte superior = 306,25 cm²
Parte inferior.. = 306,25 cm²
Parte lateral... = 350,00 cm²
--------------------------------
Área total ..... = 962,50 cm²

10000 cm² = 1 m²
962,5 cm² = x

x = 962,5/10000 
x = 0,09625 m²

Custo da embalagem:
0,09625 * R$ 10,00 = 0,9625 ≈ R$ 0,95



Um abraço.

divida a face pentagonal em 7 triangulos equilateros.
A área total AT da embalagem corresponde à soma da área lateral AL com o dobro da área da base AB. A área lateral mede o perímetro da base multiplicado pela medida da altura do prisma, e a área da base é 7 vezes a área de um dos triângulos equiláteros. Portanto:
At =70*5 + 2 * 7 * (10^2 * 1,75)/4 = 955 cm2 = 0,0955m2
Como 1 m2 de papelão custa R$ 10,00, o custo da embalagem será aproximadamente R$ 0,95.

 

Ou ainda,