Produto vetorial e perpendicularismo de retas

por Omni Sáb 29 Out 2016, 20:57

Eu realmente não sei se esse é o local correto para a minha dúvida, portanto, peço desculpas adiantado!

O meu professor de cursinho ensinou uma técnica prática para descobrir retas perpendiculares. Se eu tenho a.x + b.y + c = 0 e d.x + e.y + f = 0, basta tornar a relação a.d + b.e = 0 verdadeira. Ele disse que isso decorre de produto vetorial. Eu, sendo uma pessoa curiosa, resolvi tentar demonstrar.

Das equações de reta, tenho os seguintes vetores u = (a, b, 0) e v = (d, e, 0), portanto, |u| = √(a² + b²) e |v| = √(d² + e²)

Da definição:

Produto vetorial e perpendicularismo de retas 20kuqom

Além disso:

Produto vetorial e perpendicularismo de retas 2ujmbs5

Agora a minha dúvida: conceitualmente eu posso relacionar diretamente os valores das igualdades? ou seja, a.e - d.b = √(a² + b²).√(d² + e²)

Porque se eu continuar as operações, o valor alcançado será a prova do perpendicularismo.

por **Ashitaka** Dom 30 Out 2016, 11:07

Na verdade, você pode demonstrar isso até sem vetores, apenas com trigonometria. É bem simples, basta desenhar as retas e relacionar as tangentes com os coeficientes angulares. Daí, encontrará a relação conhecida mm' = -1.
No formado exposto, temos m = -a/b e m' = -d/e. Substituindo:
ad/(be) = -1
ad + be = 0.
Eu acho bem mais vantajoso decorar apenas a expressão mm' = -1.

Agora, se você quiser demonstrar por vetores, decorre que (a, b) é um vetor perpendicular à primeira reta e, (d, e), à segunda. Contudo, se as retas são perpendiculares, esses vetores também o são. Decorre de imediato, então, do produto escalar que ad + be = 0.