PROFMAT 2017

Um jogo é disputado em uma malha de 16 pontos, conforme a figura da esquerda abaixo. O jogador A inicia no ponto P e deve chegar ao ponto Q, podendo se deslocar apenas ao longo das retas que unem os pontos e atingir apenas um novo ponto a cada rodada. Em contrapartida, o jogador B inicia no ponto Q e deve chegar ao ponto P sob as mesmas condições. As jogadas acontecem alternadamente, iniciando com o jogador A. Em sua vez, um jogador não pode se deslocar para um ponto que esteja sendo ocupado pelo outro jogador.



Em uma partida já encerrada, o jogador A percorreu a trajetória destacada na figura da direita abaixo, atingindo o ponto Q em 6 jogadas. De quantas maneiras diferentes o jogador B pode ter se deslocado, sabendo que ele alcançou o ponto P também em 6 jogadas?
(A) 8
(B) 9
(C) 10
(D) 11 
(E) 12

Questão legal. Olha só, como o jogador B chegou ao ponto P em 6 jogadas, ele necessariamente tem que ter apenas andado para a esquerda e para baixo. 
Vamos ignorar o jogador A por enquanto, vamos apenas calcular quantas maneiras diferentes o jogado B pode ir de Q-->P

Podemos pensar da seguinte forma: já que ele terá que fazer 6 movimentos, sendo 3 desses para baixo e 3 para a esquerda, basta calcularmos  (Permutação de elementos nem todos distintos)
Totalizando 20.

Porém nós sabemos que ele não pode colidir com o jogador A, mas caso você não tenha percebido, essa colisão só poderá ocorrer quando o jogador B fazer seu terceiro movimento, é impossível que essa colisão aconteça antes ou depois disso.
Logo, basta calcularmos quantos caminhos distintos partindo de Q chegam no mesmo ponto onde o jogador A vai estar no seu terceiro movimento. Isso vai ser:  =9

Finalmente... 20-9=11. Espero que tenha entendido.