Estatistica

Se a tabela indica a distribuição dos salários dos funcionários de determinada empresa e se
são contratados dois novos funcionários com salário de R$ 605,00 cada um, então a variância
da nova distribuição dos salários ficará maior que a anterior. 
SALÁRIO                           FREQUÊNCIA
300                                       6
450                                       4
500                                       3
1000                                     7
 
Verdadeiro ou Falso?

Antes:

x	F	x*F	x² * F
300	6	1.800	540.000
450	4	1.800	810.000
500	3	1.500	750.000
1000	7	7.000	7.000.000
∑	20	12.100	9.100.000
	Média:	605	455.000
	σ² =	88.975

Depois:

x	F	x*F	x² * F
300	6	1.800	540.000
450	4	1.800	810.000
500	3	1.500	750.000
605	2	1.210	732.050
1000	7	7.000	7.000.000
∑	22	13.310	9.832.050
	Média :	605	446.911
	σ² =	80.886

Mas só precisava achar a primeira média: 605

Como os 2 valores valem a própria média, a média não vai se alterar e vai diminuir a dispersão, a variância, que mede exatamente o quão afastados da média estão o conjunto de valores, através da média dos quadrados da distâncias entre cada valor e a média dos valores.

Simplificando:

A variância nada mais é do que a média dos quadrados das distâncias entre cada valor e a média: 
                    _                 
σ² ≡ ∑( x - x )² / n

Como a distância entre os novos valores é nula, vou ter a mesma soma dividida por um denominador maior (22 contra 20). Logo a variância vai ser menor.

Valeu!!! Também cheguei ao resultado de que ela seria menor, mas o gabarito mostra que a afirmação é veradeira. Deve estar errado o gabarito, pois não faz sentido dois salários novos iguais à média e a variância aumentar.
OBS: por que tu calculou x² * F ?

Com certeza está errado.

A dispersão diminui.

Vou usar sublinha em vez de sobrelinha para denotar média:

x : média de x

Poderia usar a fórmula variância da amostra (s²), onde o divisor tem menos um grau de liberdade:
                                 
σ² ≡ ∑( x - x )² / n

s² =  ∑( x - x )² / (n - 1)

Mas não iria alterar a resposta.

Quanto a tabela, onde fiz a coluna dos "x²F" : a partir da definição achamos uma fórmula mais operacional para o cálculo:

σ² ≡ ∑( x - x )² / n

n σ²  = ∑( x² - 2 x x + ( x )²  )

n σ²  = ∑( x²)  - 2x ∑(x) + ∑( x )²

σ²  = ∑( x²) / n  -  2x ∑(x) / n  +  ∑( x )²  / n

σ²  =  (x²)  -  2x . x  +  n ( x )² / n

σ²  =  (x²)  -  2(x)²  + (x)²

σ²  =  (x²)  -  (x)²  

A variância de uma característica X da população é:

" A média dos quadrados subtraída do quadrado da média".

Bem menos trabalhosa.

Quando agrupamos os dados em classes, como no exemplo acima, multiplicamos o centro da classe pela frequência absoluta:

x ≡ ∑( X ) / n

por

x  ≈ ∑( x F) / n  = ∑( x F ) / ∑( F )

O mesmo fazemos para o termo "média dos quadrados" na fórmula operacional da variância:

σ²  =  (x²)  -  (x)²

(X²)  ≡ ∑( x²) / n

por

(X²)  ≈ ∑( x² F) / ∑( F )

O símbolo de aproximadamente ( ≈ ) é usado porque, quando as classes são definidas por intervalos  e se elege o centro de cada classe para representá-las, existe um erro implícito em assumir que os elementos de cada classe nela se distribuem linearmente (homogeneamente), o que não acontece em alguns caso.

Não é esse caso, pois as classes foram definidas por um único valor e não por uma faixa (intervalo) de valores,

Valeu cara!! Não conhecia esta outra formula que facilita muito o cálculo.

!!