Demonstrar por indução finita

por vinicius89 Sex 16 Set 2016, 18:53

Dúvida de um exercicio retirado daquele famoso livro do Iezzi :

Provar que 6 é divisor de n(n+1)(n+2) , para todo n pertencente ao conjuntos dos naturais , por meio da indução finita. De forma bem simplista e resumida , o principal "passo" a ser seguido do enunciado desse método é mostrar que se k(k+1)(k+2) é divisivel por 6 então k+1((k+1) +1)((k+1) +2) também será.

por **Euclides** Sex 16 Set 2016, 19:28

1. para n=1 verifica-se

2. seja a proposição verdadeira para k(k+1)(k+2), portanto

$k(k+1)(k+2)=\frac{(k+2)!}{(k-1)!}\;\;\;\;\text{ \'e m\'ultiplo de 6}$

3. para k=k+1

$\\N=(k+1)(k+2)(k+3)=\frac{(k+3)!}{k!}=\frac{(k+3)(k+2)!}{k(k-1)!}\\\\N=\frac{k+3}{k}\cdot\frac{k+2}{(k-1)!}\;\;\Rightarrow \;\;N=C.6\alpha\;\;\;\;\;\text{divis\'ivel por 6}$

por leon030299 Sex 16 Set 2016, 19:35

tendo esse polinômio:
$Demonstrar por indução finita Gif$
$Demonstrar por indução finita Gif$
P(n) é divisível por 6 se tiver um polinômio que multiplicado por 6 de P(n)
P(n)=6Q(n).
como sabemos o grau do polinômio é fácil induzir o resultado.
no grau 3 6*x*n^3=n^3, logo x=1/6
no grau 2 6*x'*n^2=3n^2 x'=1/2
no grau 1 6*x''*n=2n x''=3
portanto
$Demonstrar por indução finita Gif$ e isso multiplicado por 6 é igual a P(x)
logo
$Demonstrar por indução finita Gif$ e portanto 6 é divisor de n(n+1)(n+2)

por vinicius89 Sex 16 Set 2016, 20:19

...

Obrigado.

por vinicius89 Sex 16 Set 2016, 20:53

Não que eu seja bom em matematica mas como algo desse tipo passa despercebido? Shocked

Principalmente pela resolução do Euclides que talvez por achar a questao tão óbvia , incluiu o conceito de numeros fatoriais pra ficar mais bonitinho hahaha

Multiplicar (k+1)(k+2)(k+3) por k/k era suficiente pale

por **Euclides** Sex 16 Set 2016, 20:59

vinicius89 escreveu:Principalmente pela resolução do Euclides que talvez por achar a questao tão óbvia , incluiu o conceito de numeros fatoriais pra ficar mais bonitinho hahaha

Eu não faço nada para tornar uma solução bonitinha. O fatorial é óbvio e foi a primeira coisa que vi ao olhar a questão.

por leon030299 Sex 16 Set 2016, 21:14

Quero deixar claro que apesar de ter respondido depois do mestre Euclides, minha demonstração foi uma apenas uma maneira diferente de ver o problema e que acrescentou conteúdo ao tópico.