Fatec-sp inequação logaritmo

por Milicoafa Seg 05 Set 2016, 17:01

No universo IR, o conjunto solução da inequação log 0,5 (x2 – x + 2) > – 3 é:

R: ]-2;3[

por **Elcioschin** Seg 05 Set 2016, 17:43

log_(1/2)k = - 3 ---> k = (1/2)^-3 ---> k = 2³ ---> k = 8

log_1/2(x² - x + 2) > log_1/28

0 < base < 1 --> inverte sinal da inequação:

x² - x + 2 < 8 ---> x² - x - 6 < 0 ---> Raízes x = -2 e x = 3

Parábola com a concavidade voltada para baixo ---> -2 < x < 3 ---> ]-2, 3[

por Milicoafa Seg 05 Set 2016, 18:32

Elcio,por que na parte de inverter as bases não ficaria $0<x²-x+2<8?$

por **Claudir** Seg 05 Set 2016, 19:10

Milicoafa, y = x² - x + 2 é sempre maior que zero (não há raízes reais).

Obs.: a concavidade da parábola não seria voltada para cima?

por **Elcioschin** Seg 05 Set 2016, 19:12

Isto que você fez NÃO é inverter: inverter significa apenas mudar o sentido do sinal da inequação de > para <

Você está desconhecendo as propriedades de inequações logarítmicas:

Se log_bx > log_by, existem duas possibilidades:

1) Se b > 1 ---> x > y
2) Se 0 < b < 1 ---> x < y

por Milicoafa Seg 05 Set 2016, 19:48

Elcioschin escreveu:log_(1/2)k = - 3 ---> k = (1/2)^-3 ---> k = 2³ ---> k = 8

log_1/2(x² - x + 2) > log_1/28

0 < base < 1 --> inverte sinal da inequação:

x² - x + 2 < 8 ---> x² - x - 6 < 0 ---> Raízes x = -2 e x = 3

Parábola com a concavidade voltada para baixo ---> -2 < x < 3 ---> ]-2, 3[

Me expressei mal.Na parte em que você monta a desigualdade com os logaritmandos(INVERTENDO-A)ficando x² - x + 2 < 8 , não seria 0< 8 ?

por **Elcioschin** Seg 05 Set 2016, 19:59

Não, meu caro.

O logaritmando do 1º membro é (x² - x + 2) e o logaritmando do 2º membro é 8

x² - x + 2 < 8

De onde surgiu este 0 ?

por Milicoafa Seg 05 Set 2016, 20:17

devido a desigualdade ser menor que 8 e o logaritmando ser necessariamente positivo, n preciso garantir isso durante a resolução? Ficando assim $Fatec-sp inequação logaritmo Gif$

por **Elcioschin** Ter 06 Set 2016, 09:18

Milicoafa

Agora eu entendi sua dúvida. Veja:

Em quaisquer questões envolvendo logaritmos, em que aparecem incógnitas na base ou no logaritmando, antes de resolver a questão, é necessário impor as condições de existência - C.E.

Nesta questão, como a base é um número (0,5) basta verificar o logaritmando:

x² - x + 2 > 0

A função do 1º membro da inequação é uma parábola com a concavidade voltada para cima. Seu discriminante vale ∆ = (-1)² - 4.1.2 ---> ∆ = -7
Isto significa que a parábola NÃO tem raízes reais, isto é, ela NÃO toca o eixo x (está sempre acima do eixo x). Logo, para qualquer valor de x a função é sempre positiva.

Assim, ao resolver a inequação, esta condição não precisa mais ser imposta: basta escrever x² - x + 2 < 8