Números inteiros.

25 - Achar dois números inteiros positivos a e b, sabendo que sua soma seja 651 e que o quociente de seu mmc pelo mdc seja igual a 180.

Daniel if escreveu:25 - Achar dois números inteiros positivos a e b, sabendo que sua soma seja 651 e que o quociente de seu mmc pelo mdc seja igual a 180.

Boa tarde, Daniel.

Após várias tentativas para resolver sua questão, vim a entender que, em vez de soma igual a 651 é diferença igual a 651!

Abreviaturas que costumo utilizar:
M = mmc
D = mdc
p,q = números primos entre si

A – B = 651

A/D = p → A = pD
B/D = q → B = qD

A – B = pD – qD
A – B = (p–q).D
651 = (p–q).D

M = pqD

M/D = pqD/D
180 = pq

Logo, p e q são divisores de 180, a saber:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180.

Assim, o produto pq é igual a um dos pares abaixo:
1*180
2*90
3*60
4*45
5*36
6*30
9*20
10*18
12*15

Então, a diferença (p–q) deverá ser uma dentre as abaixo relacionadas:
180-1 = 179
90-2 = 88
60-3 = 57
45-4 = 41
36-5 = 31
30-6 = 24
20-9 = 11
18-10 = 8
15-12 = 3

Diferença essa que deverá ser um dos divisores de 651:
651 = 3.7.31
Divisores de 651 = 1, 3, 7, 21, 31, 93, 217 e 651.

O único divisor de 651 que é igual a uma das diferenças entre os elementos de um par de divisores de 180 é o 31.

Sendo assim, fica:
651 = (p-q).D
651 = 31.D
D = 651/31
D = 21

A = pD = 21.p = 21.36 = 756
B = qD = 21.q = 21._5 = 105

Conferindo:
A - B = 756 - 105 = 651

D(756,105) = 21
M(756,105) = 3780 (=180*21)



Um abraço.