A máxima iluminação

Mais um problema prático sobre máximos:

Suponha que o eixo X representa o eixo da superfície de uma mesa horizontal.
Num ponto B(b, 0) do eixo X está um objeto a ser iluminado.
Num ponto A (0, a) do eixo Y deve ficar uma lâmpada de claridade constante i.
Deseja-se que o objeto tenha a máxima iluminação possível.
Se a lâmpada ficar muito baixa os raios luminosos incidirão obliquamente, e a iluminação será baixa.
Se a lâmpada ficar muito alta, a distância dela ao objeto aumenta e a iluminação também é baixa.
Tudo indica, então, que deve existir uma altura ideal, intermediária, para a qual a iluminação é máxima .
Seja T o ângulo entre o eixo Y e a reta AB.
.
De acordo com uma lei da Óptica a luminosidade é dada por: L = i*cosT/AB²

Qual o valor de T que implica luminosidade máxima?

Dica: lembrem-se das propriedades anteriores de produtos máximos de duas parcelas!

Obs.: Isto ensina, para um Engenheiro, qual a posição ideal das lâmpadas num ambiente de trabalho. Deve ficar claro que a solução deve ser feita com conhecimentos do Ensino Médio (embora seja mais fácil com derivadas).

Divirtam-se com este desafio !!!

Bem dificil, não consegui avançar:

Vinicius

É necessária uma pequena correção:

T é o ângulo entre AB e o eixo Y, logo ---> cosT = a/c (e não b/c)

O resto do seu raciocínio estã correto.

Tente novamente!

Entendi, Mestre.
Acho que é isso:

Vinicius

Estou gostando de ver o seu raciocínio: você está chegando lá!!!!

Falta apenas fazer outra correção no final:

Dado um número N conhecido, para dividí-lo em três partes cujo produto seja máximo, as três partes devem ser iguais.

A soma S = (2 + a²)/(a² + b²) NÃO é constante, pois ela depende da variável a. Assim, para este valor de S a propriedade não se aplica.

É necessário, então, separar o produto a²/(a² + b²)³ em outras três partes cuja soma seja constante.

Experimente assim: z = a²/(a² + b²)³ -----> z = [1/(a² + b²)²]*[1 - b²/(a² + b²)]

Depois multiplique os dois membros por (b²)² ---->

z*(b²)² = [(b²)²/(a² + b²)²]*[1 - b²/(a² + b²)]

Esta é uma nova função w cujo máximo coincide com o de z:

w = [b²/(a² + b²)]²*[1 - b²/(a² + b²)]


Prossiga!!!

Entendi. Não sei se é isso:


Mestre, não entendi essa parte:

Experimente assim: z = a²/(a² + b²)³ -----> z = [1/(a² + b²)²]*[1 - b²/(a² + b²)]

por que a²=1-b² ?

z = a²/(a² + b²)³

z = [1/(a² + b²)²]*[a²/(a² + b²)] ----> dividindo a 2ª parte

z = [1/(a² + b²)²]*[1 - b²/(a² + b²)] ----> multiplicando pela constante (b²)²

z*(b²)² = [b²/(a² + b²)]²*[1 - b²/(a² + b²)] ----> Fazendo z*(b²)² = w:

w = [b²/(a² + b²)²]²*[1 - b²/(a² + b²)]

Temos agora duas partes de w (sendo uma ao quadrado); vamos somar ambas:


[b²/(a² + b²)] + [ 1 - b²/(a² + b²] ----> m + n = 1 ----> constante

Agora sim vale a propriedade, com uma pequena alteração, devido ao fato de uma delas estar elevada ao quadrado ----> m = 2n

b²/(a² + b²) = 2*[1 - b²/(a² + b²] ----> b²/(a² + b²) = 2 - 2b²/(a² + b²] ---->

3b²/(a² + b²) = 2 ----> 3b² = 2a² + 2b² ----> b² = 2a² ----> a = (\/2/2)*b


Para saber o ângulo T ----> tgT = b/a ----> tgT = \/2 ----> T ~= 54,73º

O conhecimento desta relação é muito importante para arquitetos, engenheiros civis e engenheiros elétricos projetarem a instalação de móveis/bancadas e iluminação adequada em diferentes locais de tabalho (escritórios, fábricas, oficinas, ruas, praças, etc.). Baseado nela é que são escolhidas as alturas dos postes de iluminação.

Deve ficar claro que estes valores podem ser obtidos mais facilmente com o uso de derivadas(cálculo diferencial).

Deve ficar claro que estes valores podem ser obtidos mais facilmente com o uso de derivadas(cálculo diferencial).

O mais incrível é que se pode obter por álgebra de ensino médio.

Vinicius

Este foi o objetivo da questão: mostrar um problema prático resolvível por alunos do Ensino Médio.

Entretanto, para resolvê-lo foi necessário executar uns malabarismos algébricos, enquanto que por derivada é muito mais fácil:

z = a²/(a² + b²)³ ----> z = a²*(a² + b²)^(-3) ----> Derivando em relação `avariável a:

z' = a²*[-3*(a² + b²)^(-4)]*2a + (a² + b²)^(-3)*2a

Z' = - 6a³/(a² + b²)^4 + 2a/(a² + b²)³ ----> Fazendo z' = 0

6a³/(a² + b²^4 = 2a/(a² + b²)³

6a² = 2*(a² + b²)

3a² = a² + b²

2a² = b²

\/2*a = b

a = (\/2/2)*b -----> CQD