Triângulo

Seja ABC um triângulo NÃO isósceles de área igual 3V15 e no qual  M, N e P são os pontos médios dos lados AB, BC e CA respectivamente. Se AN=3 e BP=6, a medida CM é igual a : 

A)2
B)4
C)2V6
D)3V6
E)6V15

Gabarito : Letra D

AN, BP e CM são medianas ----> G é o baricentro
As três medianas de um triângulo o dividem em seis triângulos de mesma área.
O baricentro divide cada mediana na razão 2:1 a partir do vértice. Essas medidas foram anotadas no desenho abaixo.
Prolongamos a mediana BP de um valor PK = GP e traçamos o segmento AK.



[*1] o triângulo AGK é composto por dois triângulos egressos da divisão do ABC pelas suas medianas, portanto sua área equivale a duas vezes 1/6 da área de ABC.

[*2] o valor x=4 não é aproveitável porque teríamos CG=BG=4 o que implica no triângulo ABC ser isósceles, contrariando o enunciado. Note que 2√6 ≠ 4 (BG) e é ≠2 (AG). Evidentemente para obter o valor de x, na segunda radiciação, os valores negativos devem ser desprezados.

Obs.: na mensagem acima, onde está escrito (e, ainda por cima, escrito errado) "Brahmagupta", o correto é "Heron" -- para triângulos o crédito é de Heron.