raiz de número complexo

Determine a raiz  usando a definição de 

Defina z=28-96i
Vamos colocá-lo na forma polar dos complexos:

Módulo: |z|=\sqrt{28^2+(-96)^2}=100
Argumento: \theta=\arctan{\frac{-96}{28}}

Assim: z=100cis(\theta)

\sqrt[4]{z}=\sqrt[4]{100}\;cis(\frac{\theta}{4})

Veja \cos{\theta}=\frac{28}{100} e \sin{\theta}=\frac{-96}{100}.

Então 
\cos{\frac{\theta}{2}}=\sqrt{\frac{1+\cos{\theta}}{2}}=\frac{4}{5}\\ \cos{\frac{\theta}{4}}=\sqrt{\frac{1+\cos{\frac{\theta}{2}}}{2}}=\frac{3}{\sqrt{10}}

e

\sin{\frac{\theta}{2}}=\frac{\sin{\theta}}{2\cos{\frac{\theta}{2}}}=\frac{-3}{5}\\ \sin{\frac{\theta}{4}}=\frac{\sin{\frac{\theta}{2}}}{2\cos{\frac{\theta}{4}}}=\frac{\frac{-3}{5}}{2(\frac{3}{\sqrt{10}})}=\frac{-1}{\sqrt{10}}

Logo: 
\sqrt[4]{z}=\sqrt{10}(\frac{3}{\sqrt{10}}-i\frac{1}{\sqrt{10}})=3-i

Qualquer dúvida com as transformações trigonométricas que fiz, ou outra coisa, pergunta aí. Espero ter ajudado, abraço!

Boa tarde, Gabriel!

Li sua ótima resolução e achei bem interessante, mas o complexo dado também apresenta outras raízes, como  -3+i. Há como encontrá-las por esse método ou ele permite apenas a "principal"?

Há sim, GFMCarvalho, pois eu omiti as demais raízes. O enunciado disse ache A raiz, e acabei me deixando influenciar, mas bem lembrado!

Na verdade, quando escrevemos z na forma polar, vemos que na verdade se somarmos (ou subtrairmos) múltiplos de 2\pi no seu argumento, ainda continuaremos com o mesmo z - é só você desenhar no plano de Argand-Gauss e irá notar. Então, genericamente falando:
z=100\; cis(\theta+2\pi k) para k inteiro
\sqrt[4]{z}=\sqrt[4]{100}\; cis(\frac{\theta}{4}+\frac{2\pi k}{4})

Veja que podemos limitar k a 0,1,2 e 3, pois qualquer outros inteiros irão resultar em redundância, dado que por exemplo, se k=5
\frac{2\pi \cdot 5}{4} = \frac{2\pi \cdot 1}{4} + 2\pi
Logo, como múltiplos de 2pi geram o mesmo argumento, k=5 gera a mesma raiz que k=1.

Logo, as outras raizes ficam determinadas por:

z_0=\sqrt{10}\; cis(\theta)=3-i para k=0
z_1=\sqrt{10}\; cis(\frac{\theta}{4} + \frac{\pi}{2}) para k=1
z_2=\sqrt{10}\; cis(\frac{\theta}{4} + \pi) para k=2
z_3=\sqrt{10}\; cis(\frac{\theta}{4} + \frac{3\pi}{2}) para k=3

Logo, 

z_1=\sqrt{10}(\cos{(\frac{\theta}{4} + \frac{\pi}{2})}+i\sin{(\frac{\theta}{4} + \frac{\pi}{2})})\\ z_1=\sqrt{10}(-\sin{\frac{\theta}{4}}+i\cos{\frac{\theta}{4}})=1+3i

z_2=\sqrt{10}(\cos{(\frac{\theta}{4} + \pi)}+i\sin{(\frac{\theta}{4} + \pi)})\\ z_2=-\sqrt{10}(\cos{\frac{\theta}{4}}+i\sin{\frac{\theta}{4}})=-3+i

z_3=\sqrt{10}(\cos(\frac{\theta}{4} + \frac{3\pi}{2})+i\sin{(\frac{\theta}{4} + \frac{3\pi}{2}}))\\ z_3=-\sqrt{10}(-\sin{\frac{\theta}{4}}+i\cos{\frac{\theta}{4}})=-1-3i

Abraço!

Ah, sim! Muito obrigado!
 Agora que fui notar que você usou a fórmula de De Moivre, mas com a notação cis, hehehe.

Tinha travado em senθ=-96/100 e cosθ=28/100 . Muito bom esse lance das relações trigonométricas. Show!