Expressão com soma de raízes

por Deivid Santos Fernandes Qua 06 Jul 2016, 13:19

\\\text{Calcule o valor de:}\\\\S=\frac{1}{1}+\frac{1}{\sqrt2+\sqrt1}+\frac{1}{\sqrt3+\sqrt2}+...+\frac{1}{\sqrt100+\sqrt99}

por GFMCarvalho Qua 06 Jul 2016, 14:33

Boa tarde,

Vamos racionalizar os termos individualmente

a_1=1
a_2=\sqrt2-\sqrt1
a_3=\sqrt3-\sqrt2
...
a_{100}=\sqrt{100}-\sqrt{99}

Somamos tudo, cortando o 1 da 1ª linha com -1 da segunda, o \sqrt2 da 2ª linha com o -\sqrt2 da terceira... o \sqrt{99} da penúltima com o -\sqrt{99} da última.

Nos sobra \sqrt{100 para a_1+a_2+...+a_{100}=S, logo, \boxed{S=10}

por Convidado Qua 06 Jul 2016, 14:36

1

√2 - √1
_____________________________________ subtrai-se 1 de - √1. Aí fica zero.
(√2 + √1)(√2 - 1)→ 2 - √2 + √2 - 1 → 1

√3 - √2
______________________ → √3 - √2
(√3 + √2)(√3 - √2) →3 - 2 1

1
_______________ → √100 - √99 → 10 - √99
√100 + √99 1

Você elimina os termos medianos.
Resposta: 10.

por Convidado Qua 06 Jul 2016, 14:44

Ah, já consegui entender... pois meu erro foi não ter feito a √1
Ótima resolução, Carvalho.

por John von Neumann jr Qua 06 Jul 2016, 14:47

1/1 + 1/(√2 + √1) + 1/(√3 + √2) + ... + 1/(√100 + √99)

Analisando cada termo desta sequência e racionalizando-os
:

1/(√2 + √1) = (√2 - √1)/(2 - 1) = √2 - √1
1/(√3 + √2) = (√3 - √2)/(3 - 2) = √3 - √2
...

1/(√100 + √99) = (√100 - √99)/(100 - 99) = √100 - √99

Em geral cada termo desta sequência pode ser escrito como:

1/(√k+1 + √k) = √k+1 - √k

Então:

S= 1 + √2 - √1 + √3 - √2 + ... + √100 - √99
S= √100
S= 10