ufce---

Considere a equacao x2 + (k – 4)x – 2k + 4 = 0.
Indique os valores de k, para os quais o numero real 3 esta compreendido entre as raizes desta equacao.

Note que a raiz é o valor que zera a equação do segundo grau. Perceba também que o A é positivo, então a parábola ficaria com concavidade para cima. A função será negativa entre uma raiz e a outra.

3² + (k - 4).3 -2k + 4 < 0.
9 + 3k - 12 - 2k + 4 < 0   -> 1 + k < 0 -> k < -1

Eu não entendi a parte "A função será negativa entre uma raiz e a outra."
eu sei que não daria certo fazer assim   3² + (k - 4).3 -2k + 4 = 0 , pois eu estaria afirmando que a raiz é somente 3 , mas não entendi porque assim
3² + (k - 4).3 -2k + 4 < 0.

Quando a > 0, a função será negativa se você admitir valores interiores às raízes.

Veja:

x² - 4 = 0 ; x = +- 2 -> temos os pontos A(0,2), B(0,-2) e C (-4,0)

Trace o gráfico. Veja que para valores interiores as raízes, isto é, entre -2 e 2, a função terá valores negativos. 

Já sei que 3 está compreendido entre as raízes da equação, logo sei que f(3) será negativo. Daí basta substituir e achar os valores de k que satisfazem essa relação. Eu não sei se estou correto, mas me parece bastante razoável. Talvez algum colega possa dar mais segurança ou fazer as devidas correções a essa interpretação.

estraveneca , uma pergunta .
Já que o enunciado diz que o três está compreendido ENTRE AS RAÍZES , não deveríamos fazer também :
(k – 4)²  -4( – 2k + 4) > 0 ?
k>0
a solução não seria :     k>0 ou k<-1

Não Glaucio

Desenhe a parábola y = x² - 5.x + 4 ---> raízes x = 1 e x = 4 ---> xV = 2,5 ---> yV = - 2,25

Marque agora, na curva o ponto (3, -2)

Viu como 3 está no intervalo entre as as raízes ---> ]1, 4[ ?
E viu também, como, neste mesmo intervalo, f(x) < 0

essa parte eu já tinha entendido , mas o que eu queria saber era se :
"não deveríamos fazer também :
(k – 4)²  -4( – 2k + 4) > 0 ? "
A parte do f(3) < 0  eu entendi , mas já que temos duas raízes na função , o delta não deverá ser > 0 para que tenha , realmente , duas raízes ?
Se não , por que ?

Não.
Se f(3) > 0 o valor 3 estará fora do intervalo (ou à esquerda da menor raiz ou à direita da maior raiz). E não é isto que o enunciado pede: ele quer "entre" as raízes

entendido .. Valeu , professor elcioschin