Obtenha uma equação vetorial para a reta

por Stevin Seg 30 maio 2016, 21:33

Obtenha uma equação vetorial para a reta que passa pelo ponto P(1,1,0),é paralela ou contida no plano ∏,e concorrente com a reta r.
Dados:
∏: 2x+y-z-3 = 0 e; r:(1,0,0)+λ(-1,0,1)

por **Carlos Adir** Seg 30 maio 2016, 21:41

Seja o vetor paramétrico da reta (1, a, b).
Então se é paralelo ao plano(ou contido), então será perpendicular ao vetor (2, 1, -1)
Assim, se são perpendiculares, o produto escalar é nulo:
1*2 + 1 * a + (-1) * b = 0 ---> b = a+2
Se é concorrente com a reta dada, então significa que existe um ponto de intersecção.
A nossa reta será dada por s: (1, 1, 0) + t(1, a, a+2)
Fazendo a intersecção:
(1, 1, 0) + t(1, a, a+2) = (1, 0, 0) + λ(-1, 0, 1)
1 + t = 1 - λ --> t = -λ      (I)
1 + ta = 0 + 0 * λ --> a = -1/t   (II)
0 + t(a+2) = 0 + λ   (III)

Da terceira equação com a primeira, temos:
a + 2 = -1 --> a =3
Portanto, a reta que nos pede é dada por:
s: (1, 1, 0) + t(1, 3, 5)

por Stevin Seg 30 maio 2016, 21:48

Carlos Adir escreveu:Seja o vetor paramétrico da reta (1, a, b).
Então se é paralelo ao plano(ou contido), então será perpendicular ao vetor (2, 1, -1)
Assim, se são perpendiculares, o produto escalar é nulo:
1*2 + 1 * a + (-1) * b = 0 ---> b = a+2
Se é concorrente com a reta dada, então significa que existe um ponto de intersecção.
A nossa reta será dada por s: (1, 1, 0) + t(1, a, a+2)
Fazendo a intersecção:
(1, 1, 0) + t(1, a, a+2) = (1, 0, 0) + λ(-1, 0, 1)
1 + t = 1 - λ --> t = -λ      (I)
1 + ta = 0 + 0 * λ --> a = -1/t   (II)
0 + t(a+2) = 0 + λ   (III)

Da terceira equação com a primeira, temos:
a + 2 = -1 --> a =3
Portanto, a reta que nos pede é dada por:
s: (1, 1, 0) + t(1, 3, 5)

Entendo a relação entre o produto escalar do vetor diretor da reta com o vetor normal do plano ser 0.

Mas como você chegou no vetor (1,a,b) ?

por **Carlos Adir** Seg 30 maio 2016, 21:56

É um vetor genérico.
Poderia ser o vetor (a, b, c).
Mas como o vetor (2a, 2b, 2c) também pode ser, então eu tive que fixar um: O que tem o primeiro valor como 1.

No caso, a questão se resume em achar os valores de a e de b.