(ITA-71) Polinômio/Determinar um coef.

por Smasher Dom 29 maio 2016, 10:48

(ITA 1971) Seja: P(x) = a_o + a₁x + a₂x² + a₃x³ + ... + a₁₀₀x¹⁰⁰, onde a₁₀₀ = 1, um polinômio divisível por (x+9)¹⁰⁰. Nestas condições temos:

a) a2 = 50.99.9⁹⁸.
b) a2 = 100!/(2!98!)
c) a2 = 99!/ (2!98!)
d) a2 = (100!92)/(2!98!)
e) N.d.r.a.

Gabarito: letra a

por **LPavaNNN** Dom 29 maio 2016, 13:56

por Smasher Dom 29 maio 2016, 16:15

Olá colega, acho que estou entendendo, mas, como entendo melhor através de aspectos mais "gráficos", poderia verificar se identifica um erro no que deduzi de sua resolução abaixo?

De Girard:

Soma das raízes, tomadas 1 a 1: $(ITA-71) Polinômio/Determinar um coef. Gif.latex?%5Cdpi%7B100%7D%20%5Cfn_jvn%20-%5Cfrac%7Ba_%7B99%7D%7D%7Ba_%7B0%7D%7D%3D%5Cleft%20%5B%28-9%29+%28-9%29+..$
Em que a combinação C de 100 em em 1 denota o número de termos.

Soma das raízes tomadas 2 a 2:
$(ITA-71) Polinômio/Determinar um coef. Gif.latex?%5Cdpi%7B100%7D%20%5Cfn_jvn%20%5Cfrac%7Ba_%7B98%7D%7D%7Ba_%7B0%7D%7D%3D%5Cleft%20%5B%28-9%29%28-9%29+%28-9%29%28-9%29+..$
.
.
.
Soma das raízes tomadas de 98 fatores em 98 fatores
$(ITA-71) Polinômio/Determinar um coef. Gif.latex?%5Cdpi%7B100%7D%20%5Cfn_jvn%20%5Cfrac%7Ba_%7B2%7D%7D%7Ba_%7B0%7D%7D%3D%5Cleft%20%5B%28-9%29%28-9%29...%28-9%29+%28-9%29%28-9%29...%28-9%29+...+%28-9%29%28-9%29..$

Muito agradeço pela ajuda!

por **LPavaNNN** Dom 29 maio 2016, 16:35

em somas Girard, o denominador é o coeficiente de grau maior, então seria a100, e não a0, como vc colocou, no restante está ok .

por Smasher Dom 29 maio 2016, 17:00

Verdade :/ Obrigado!

por oferadagaita Seg 11 Dez 2017, 17:10

Já está respondido, mas como não sei quem foi Girard (rs), segue minha tentativa:

f = (x+9)^100, cujo termo geral é C[100,p] * 9^(100-p) * x^p

De acordo com o enunciado, x^p não faz parte do coeficiente a2, então fica assim:

a2 = C[100,2] * 9^(100-2)
a2 = 100!/2!/(100-2)! * 9^98
a2 = 100 * 99 / 2 * 9^98
a2 = 50*99 * 9^98