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Equação

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Mensagem por John von Neumann jr Dom 01 maio 2016, 15:32

Quantas soluções inteiras possui a equação x^2−4xy+6y^2−2x−20y = 29?
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Mensagem por poisedom Qua 01 Jun 2016, 14:54

x^2-4xy+6y^2-2x-20y = 29
x^2-4xy+4y^2+2y^2-2x+4y-24y=29
(x-2y)^2+2y^2-2(x-2y)-24y=29
(x-2y)^2+2y^2-2(x-2y)-24y+1=29+1
(x-2y)^2-2(x-2y)+1+2y^2-24y=30
(x-2y)^2-2(x-2y)+1+2y^2-24y+72=30+72
(x-2y)^2-2(x-2y)+1+2(y^2-12y+36)=102
(x-2y-1)^2+2(y-6)^2=102

Fazendo
\begin{cases} x-2y-1=a\\ y-6=b \end{cases} ...(1)

temos

a^2+2b^2=102

a^2=102-2b^2\geq 0

logo

0 \leq b^2\leq \dfrac{102}{2}=51

assim os quadrados perfeitos que obedecem essa inequação são:
b^2=\{0;1;4;9;16;25;36;49\}
e os valores correspondentes de
a^2
são
a^2=\{102; 100; 94; 84; 70; 52; 30; 4\}

porém apenas

a^2=\{100; 4\}

são quadrados perfeitos

então que os pares
(a^2,b^2)

são

(4,49)\Rightarrow (a,b)=\{(2,7);(2,-7);(-2,7);(-2,-7)\}
e
(100,1) \Rightarrow (a,b)=\{(10,1);(10,-1);(-10,1);(-10,-1)\}

Concluímos que a equação tem 8 soluções inteiras

OBS. para achar as soluções, basta substituir esse pares em (1)

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Mensagem por John von Neumann jr Ter 19 Jul 2016, 14:39

Muito obrigado!
John von Neumann jr
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