volume do hexaedro

por marciatrajano Seg 11 Abr 2016, 00:15

Seja um hexaedro regular (cubo) de lado 1. Chamaremos esse cubo de P1. Um

octaedro regular, que chamaremos de P2, esta inscrito no cubo P1, de forma que os vertices do

octaedro P2 são os centros das faces de P1. Um novo cubo P3 esta inscrito no octaedro P2, de

forma que os vertices do cubo P3 são os centros das faces do octaedro P2. Analogamente, P4 é o

octaedro inscrito em P3. P5 é o cubo inscrito em P4. De maneira geral, Pi é o poliedro inscrito

em Pi-1. Seja xi o comprimento da aresta do poliedro Pi e seja APi a area total do poliedro Pi.

Calcule:AP1 , x2 , AP2 , x3 , AP3 ,AP100 , Api.

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por **Elcioschin** Seg 11 Abr 2016, 12:07

Basta aplicar Pitágoras: é apenas trabalhoso:

Vc = 1

AM = BM = 1/2 ---> AB² = (1/2)² + (1/2)² ---> AB = √2/2

Todas as arestas do octaedro são iguais a √2/2

Área da base do octaedro: Sb = (√2/2)² ---> Sb = 1/2

Vo = 2.(Sb.h/3) ---> Vo = 2.(1/2).(1/2)/3 --> Vo = 1/6

Altura faces do octaedro: H = (√2/2).(√3/2) = √6/4

O triângulo das faces do octaedro é equilátero; o centro delas é o baricentro (D por exemplo):

GD = 2H/3 ---> DF = H/3

Calcule agora o lado do cubo desenhado em marrom

por marciatrajano Sex 15 Abr 2016, 18:45

Como eu faço para achar APi ?

por marcmath Seg 18 Abr 2016, 10:54

AP1 é a área total do cubo, que é 6x². Sendo o l = 1, então AP1 = 6.1²=6.

por marciatrajano Ter 19 Abr 2016, 00:10

Não é AP1 , é APi para todo i pertencente aos Naturais. Ou seja, existe uma formula geral para achar as áreas desses cubos e octaedros inseridos um no outro?

por **Medeiros** Ter 19 Abr 2016, 01:10

Existe sim, Márcia. Mexi nesta questão semana passada e consegui duas fórmulas, uma para os i ímpares (cubos) e outra para os pares (octaedros). Quando tiver um tem pinho vou tentar juntar numa só é apresentar uma solução.