Conjunto solucao da inequacao

O conjunto solucao da inequacao

  1+x
-------≥1   é:
  1-x

a)0,∝
b)0,1
c)1,∝
d)-∝,0
e)-∝,∝




















Resposta:                                                                                              B

Olhando a expressão, você pode pensar que deve multiplicar 1-x por 1 e deixar 1+x ≥ 1-x, mas isso não pode ser feito porque não se sabe o sinal do x (se é positivo ou negativo). Portanto, deve-se proceder da seguinte forma:

1+x
-------≥1 
1-x

Passando o 1 pro lado esquerdo:

1+x
----- - 1 ≥ 0
1-x

Realizando o MMC dos denominadores:

1+x**1-x
----- - ----   ≥ 0 (ignore o *)
1-x** 1-x

Simplificando:

1+x-1+x
---------- ≥ 0
1-x

Expressão final:

2x
---- ≥ 0

1-x

A divisão de dois números só resultará em zero, se o numerador for igual a zero (lembrando que não existe divisão de qualquer número por zero). Sendo assim:

1-x diferente de 0
x diferente de 1

Para saber em qual intervalo a expressão
2x
---- é maior ou igual a zero, deve-se realizar o estudo do sinal do numerador e do
1-x
denominador.

Para a fração resultar em zero, devemos ter: 2x = 0, x = 0 (0 é diferente de 1, então tal valor pode ser aceito tranquilamente).
Se x for menor do que zero, 2x será negativo e o contrário acontecerá se x for maior do que zero, portanto, temos:

**** -------------- 0 ++++++++++++
(2x): __________w________________ w = bola pintada

No caso do 1-x, temos que 1-x será igual a zero se x for igual a 1, no entanto, não podemos ter isso acontecendo na prática porque o denominador não pode ser igual a zero. Se x for menor do que 1, 1-x será positivo e se x for maior do que 1, 1-x será negativo, portando:

**** ++++++++++++ 1 ---------------
(1-x):_______________o___________ o = bola sem pintar

Para saber os sinais da expressão:

2x
---- em qualquer intervalo, deveremos realizar a divisão dos sinais em cada região
1-x
Para fazer isso, você deverá colocar as raízes de cada expressão (0 para 2x e 1 para 1-x) de acordo com a análise feita anteriormente (bolinha pintada, bolinha sem pintar) em uma mesma reta e colocar os sinais que seriam obtidos caso se dividissem apenas os sinais em cada região limitada pelas raízes (antes da primeira raíz, entre as duas raízes e depois da segunda). Por exemplo: Antes do 0, 2x é negativo e 1-x é positivo, então o resultado da divisão dos dois resultaria em negativo. Entre 0 e 1, 2x é positivo e 1-x também. A divisão de dois positivos resulta em positivo e assim por diante:

(2x)  ---------------0+++1----------------
(---): __________w____o___________
(1-x)

A região que cumpre a condição da expressão (2x)/(1-x) ser maior ou igual a zero é o intervalo preenchido com ~:

(2x)  ---------------0+++1----------------
(---): __________w~~~o___________
(1-x)

E que pode ser representado por: [0,1[ ou {x E |R / 0 \< x < 1}